Тема: Треугольник
Теория
Задачи
На сторонах AB и АС треугольника ABC отложено в противоположных направлениях два равных отрезка BD = СЕ. Доказать, что отрезок DE делится стороной BC в отношении, обратном отношению сторон AB и АС. Смотреть решение →Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга.
Смотреть решение →Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника. Смотреть решение →Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А1, а вершина В — в В1. Доказать, что в треугольнике OAB1 медиана стороны AB1 является высотой для \(\Delta\)OA1В (аналогично медиана стороны А1В в \(\Delta\)OA1В является высотой для \(\Delta\)OAB1).
Смотреть решение →Доказать, что если между сторонами a, b, с треугольника существует зависимость a2 = b2 + bc , то углы А и В, противолежащие сторонам а и b, удовлетворяют равенству ∠А = 2 ∠В.
Смотреть решение →В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах AB и BC взяты, соответственно, точки Q и P так, что ∠ACQ = 60°, a ∠CAP = 50°. Доказать, что ∠APQ = 80°. Смотреть решение →Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Смотреть решение →В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой стороной b угол при вершине равен 20°. Доказать, что а3 + b 3 = 3аb2. Смотреть решение →Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза, h — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказать, что треугольник со сторонами h, c + h, a + b является прямоугольным.
Смотреть решение →