Тема: Треугольник
Теория
Задачи
В треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на наибольшей стороне треугольника. Доказать неравенство √2r < х < 2r , где х - длина стороны квадрата, r - радиус круга, вписанного в данный треугольник. Смотреть решение →Через произвольную точку О, взятую внутри треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN, параллельные, соответственно, AB, АС, BC, причем F и M лежат на AB, E и К - на BC, N и D - на АС, Доказать, что
\(\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = 1\)
Смотреть решение →Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А1, В1, С1, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AA1, BB1 и CC1 не лежат на одной прямой. Смотреть решение →Доказать, что в любом остроугольном треугольнике ka + kb + kc = r + R, где ka, kb, kc - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.
Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника. Смотреть решение →Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство
0,4 < r/ h < 0,5,
где r - радиус вписанного круга, h - высота, опущенная на гипотенузу. Смотреть решение →
Доказать, что в любом треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной не превосходит 1/2. Смотреть решение →Доказать, что в любом треугольнике радиус описанного круга R и радиус вписанного круга r связаны с расстоянием l между центрами этих кругов соотношением
l 2 = R2 — 2Rr Смотреть решение →
На сторонах треугольника ABC взяты точки Р, Q, R так, что три прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке. Доказать, что
AR•BP•CQ = RB•PC•QA. Смотреть решение →
Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Смотреть решение →Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. Смотреть решение →