Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство

0,4 < ^r/ _h < 0,5,

где r - радиус вписанного круга, h - высота, опущенная на гипотенузу.

Пусть a, b — длины катетов и с — длина гипотенузы. Сравнив два выражения для площади треугольника, получаем:

S = ¹/₂ (a + b + c) r = ¹/₂ hc

откуда

Так как а + b > с, то

Далее, неравенство a² + b² >2ab в силу соотношения c² = a² + b²равносильно неравенству 2c² > (a + b)², или a + b < с √2. Поэтому