Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние - друг с другом хордами. Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339). Площадь каждого треугольника равна ah/2, где а - основание его,... Читать далее →

На одном и том же основании построены два конуса (один внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса равен α, а угол между высотой и образующей большего конуса равен β. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный между боковыми поверхностями этих конусов. Смотреть решение →

Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, причем одно из них равно а и равно сумме двух других. Найти радиус шара, касающегося основания пирамиды и продолжений ее боковых граней. Смотреть решение →

Середины сторон правильного n-угольника соединены прямыми, образующими новый правильный n-угольник, вписанный в данный. Найти отношение их площадей. Смотреть решение →

Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найти площадь трапеции. Смотреть решение →

В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти отношения радиусов описанной и вписанной сфер. Смотреть решение →

Даны точки М₁(2; -1) и М₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\). Смотреть решение →

Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга.  Смотреть решение →

На сторонах АВ, АС, ВС треугольника ABC, как на основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, ВСR, два первых - вне данного треугольника, третий - по ту же сторону, что и данный треугольник. Доказать, что APRQ — параллелограмм (или что точки А, Р, R, Q лежат на одной прямой).  Смотреть решение →

Через точку А, расположенную вне данной прямoй (а), в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой (а) Смотреть решение →

На большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить длину этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.  Смотреть решение →