Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией. Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством. Сформулируем основные... Читать далее →

В шаре радиуса R из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определить их длину. Смотреть решение →

Найти значения тригонометрических функций угла φ, если известно, что sin φ = 3/5. Смотреть решение →

В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Найти длины двух других сторон. Смотреть решение →

Объем правильной треугольной призмы равен V, угол между диагоналями двух граней, проведенными из одной и той же вершины, равен α. Найти сторону основания призмы. Смотреть решение →

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с боковой гранью угол β= 90°— α. Плоскость, проведенная через эту диагональ и боковое ребро, пересекающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол α(доказать, что α > 45°). Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

В точке А плоскости Р расположен источник света. Над плоскостью помещено полусферическое зеркало радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверхностью к плоскости, причем так, что ось симметрии зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке А. Зная, что наименьший угол между лучами, отраженными зеркалом и плоскостью Р, равен 15°, определить расстояние от зеркала до плоскости и радиус освещенного на плоскости Р круга. Смотреть решение →

В конус вписана треугольная пирамида SABC (S совпадает с вершиной конуса, А, В и С лежат на окружности основания конуса), двугранные углы при ребрах SA, SB и SC равны соответственно α, β и γ. Найти угол между плоскостью SBC и плоскостью, касающейся поверхности конуса по образующей SC. Смотреть решение →

К окружности проведены две касательные, которые пересекают в точках А и В прямую, проходящую через центр окружности, и образуют с этой прямой равные углы. Доказать, что любая (подвижная) касательная отсекает на данных (неподвижных) касательных отрезки АС и BD, произведение которых постоянно.  Смотреть решение →

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды содержит S см², высота пирамиды Н см. Найти сторону основания пирамиды. Смотреть решение →

В правильном тетраэдре SABC с ребром основания а проведены три плоскости, каждая из которых проходит через одну из вершин основания тетраэдра ABC и середины двух боковых ребер. Найти объем части тетраэдра, расположенной над всеми секущими плоскостями.  Смотреть решение →