Теория
1. Объём прямой треугольной призмы.Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306). Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим... Читать далее →


Задачи
  • Найти геометрическое место точек, из которых можно провести к данному шару радиуса R три касательные, образующие трехгранный угол с тремя прямыми плоскими углами. Смотреть решение →
  • На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА1 = ВС и ВВ1 = АС, а по другую СС1 = АВ. На стороне А1В1 треугольника А1В1С1 строится квадрат по ту же сторону от А1В1, что и вершина С1; аналогично строятся квадраты на сторонах В1С1 и С1А1. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →
  • Определить объем правильного восьмиугольника (октаэдра) с ребром а и двугранные углы при его ребрах. Смотреть решение →
  • Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найти отношение объемов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три боковые ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении 1:2, 1:2 и 2:1, считая от вершины. Смотреть решение →
  • Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом α. Под каким углом к основанию нужно пересечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах? Смотреть решение →
  • Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →
  • В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, являющийся проекцией боковой грани, проходящей через катет. Угол, лежащий против этого катета в основании пирамиды, равен α, а лежащий в боковой грани равен β. Площадь этой боковой грани больше площади, основания на S. Определить разность между площадями двух других граней и углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания. Смотреть решение →
  • В правильной треугольной пирамиде SABC (S - вершина) точка Е - середина апофемы грани SBC, а точки F, L и М лежат на ребрах АВ, АС и SC соответственно, причем |AL| = 1/10|AC|. Известно, что EFLM - равнобедренная трапеция и длина ее основания EF равна √7. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • На боковых гранях правильной четырехугольной пирамиды построены, как на основаниях, правильные тетраэдры. Найти расстояние между наружными вершинами двух смежных тетраэдров, если сторона основания пирамиды равна а.  Смотреть решение →
  • В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1? Смотреть решение →