Выведенные нами соотношения дают возможность решать прямоугольные треугольники, т.е. по некоторым данным элементам треугольника находить все остальные.Рассмотрим несколько примеров. 1. Даны гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его острых углов. Найти катеты этого треугольника и второй острый угол. Пусть гипотенуза... Читать далее →

Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной пирамиды равны, то все ребра этой пирамиды также равны. Смотреть решение →

В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы. Смотреть решение →

Найти объем и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если даны боковое ребро l и диаметр d круга, вписанного в основание пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом α. Через вершину прямого угла нижнего основания проведена плоскость, параллельная гипотенузе, под углом β= 90°— α к противолежащей боковой грани и пересекающая ее. Определить объем части призмы между ее основанием и сечением и боковую поверхность призмы, если известно, что боковая грань, проходящая через катет а, равновелика сечению призмы. Определить, при каком значении угла αплоскость сечения пересекает боковую грань, проходящую через гипотенузу основания. Смотреть решение →

Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением оснований.  Смотреть решение →

Объем тетраэдра ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом отношение длины отрезка DM к длине отрезка СМ равно 2/3. Вычислить площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1. Смотреть решение →

Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найти отношение объемов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три боковые ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении 1:2, 1:2 и 2:1, считая от вершины. Смотреть решение →

Через одну из точек С дуги АВ окружности проведены две произвольные прямые, пересекающие хорду АВ в точках D и Е, а окружность в точках F и G. При каком положении точки С на АВ вокруг четырехугольника DEGF можно описать круг? Смотреть решение →

Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма.  Смотреть решение →