Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение. Теорема. Если прямая (АА1, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку... Читать далее →

Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна а. Точки Р, К, L - середины ребер AA₁, A₁D₁, В₁С₁ соответственно, точка Q - центр грани CC₁D₁D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом αпри основании. Каждый двугранный угол при основании равен φ = 90°— α. Боковая поверхность пирамиды равна S. Определить объем пирамиды и полную поверхность ее. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит квадрат. Одна из боковых граней - равнобедренный треугольник и образует с основанием тупой угол \(\alpha\). Противоположная грань образует с основанием угол \(\beta\). Высота пирамиды равна Н; найти объём пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что если между сторонами a, b, с треугольника существует зависимость a² = b² + bc , то углы А и В, противолежащие сторонам а и b, удовлетворяют равенству ∠А = 2 ∠В.  Смотреть решение →

Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.  Смотреть решение →

Из точки А, расположенной внутри угла с зеркальными сторонами, исходит луч света. Доказать, что число отражений, которое испытывает этот луч от сторон угла, всегда конечно. Найти это число, если данный угол равен α, а луч направлен под углом β к одной из его сторон. Выяснить условия, при которых луч снова пройдет через точку А.  Смотреть решение →

В правильной треугольной пирамиде SABC (S - вершина) точка Е - середина апофемы грани SBC, а точки F, L и М лежат на ребрах АВ, АС и SC соответственно, причем |AL| = 1/10|AC|. Известно, что EFLM - равнобедренная трапеция и длина ее основания EF равна √7. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.  Смотреть решение →

В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами. Смотреть решение →