Рассмотрим тело вращения, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, которая соответствует неотрицательной непрерывной функции у = f(x), х \( \in \) [а; b] (рис. 250). Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х \( \in... Читать далее →

Основанием призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник АВС со стороной a. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной АВ и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины А, В, А₁, С₁ равен a. Найти объем призмы. Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Доказать, что их линия центров параллельна данной прямой. Смотреть решение →

Из точки А, расположенной внутри угла с зеркальными сторонами, исходит луч света. Доказать, что число отражений, которое испытывает этот луч от сторон угла, всегда конечно. Найти это число, если данный угол равен α, а луч направлен под углом β к одной из его сторон. Выяснить условия, при которых луч снова пройдет через точку А.  Смотреть решение →

Дана треугольная пирамида ABCD.
Найти сумму \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{CD}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{DA}\). Смотреть решение →

Доказать, что \( y=\frac{sin x+tg x}{cos x+ctg x} \) принимает положительные значения при всех допустимых значениях х Смотреть решение →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

В треугольнике ABC AC=BC=15, AB=18. Найдите синус внешнего угла при вершине A. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду SABC с вершиной S и основанием АВС вписан шар радиуса 2; высота пирамиды SK равна 6. Доказать, что существует единственная плоскость, пересекающая ребра основания АВ и ВС в некоторых точках М и N таких, что |MN| = 7, касающаяся шара в точке, удаленной на равные расстояния от точек М и N, и пересекающая продолжение высоты пирамиды SK за точку К в некоторой точке D. Найти длину отрезка SD. Смотреть решение →

На высоте конуса, равной Н, как на диаметре, описан шар. Определить объем части шара, лежащей вне конуса, если угол между образующей и высотой равен α. Смотреть решение →