Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Пусть ∠CAB составлен хордой CA и касательной AB (рис. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной \(\breve{CA}\). Проведём через точку С прямую СD || AB. Вписанный ∠АСD измеряется... Читать далее →

Доказать, что если две точки лежат вне окружности и прямая, их соединяющая, не пересекает окружности, то расстояние между этими двумя точками больше разности длин касательных к окружности, проведенных из данных точек, и меньше суммы их. Показать, что одно или другое из этих неравенств не будет выполнено, если прямая пересекает окружность. Смотреть решение →

Над плоским потолком зала, имеющего форму квадрата со стороной а, сделана крыша, построенная следующим образом: каждая пара смежных вершин квадрата, образующего потолок зала, соединена прямыми с серединой противолежащей стороны, на каждом из получившихся четырех треугольников, как на основании, построена пирамида, вершина которой проектируется в середину соответствующей стороны квадрата. Расположенные выше других части граней этих четырех пирамид образуют крышу. Найти объем чердака (т. е. пространства между потолком и крышей), если высота каждой из пирамид равна h.  Смотреть решение →

Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза, h — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказать, что треугольник со сторонами h, c + h, a + b является прямоугольным.  Смотреть решение →

Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найти отношение объема конуса к объему куба. Смотреть решение →

Расстояние   между   центрами  двух пересекающихся кругов радиусов R и r  равно d.   Найти  площадь их общей части. Смотреть решение →

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен √3, а боковые ребра пирамиды равны 6. Смотреть решение →

Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD пронести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов А и С с биссектрисами углов В и D лежат на окружности.  Смотреть решение →

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно l, оно наклонено к плоскости основания под углом β. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боковому ребру ее. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.  Смотреть решение →

Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V. Под тетраэдром здесь понимается правильный четырехгранник (иногда тетраэдром называется произвольная треугольная пирамида). Смотреть решение →