Построение треугольников по одному или двум элементам Пусть требуется построить треугольник по данной стороне а. Так как об углах треугольника и о других его сторонах ничего не сказано, то можем построить сколько угодно различных треугольников, у которых одна сторона... Читать далее →

В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π. Смотреть решение →

Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника.  Смотреть решение →

Две окружности радиусов R и r находятся в положении внешнего касания. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус. Смотреть решение →

Сторона основания правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 12, а боковое ребро \(2\sqrt6\) . Найдите градусную меру угла между плоскостями AB₁C и ABC. Смотреть решение →

Найти объем и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если даны боковое ребро l и диаметр d круга, вписанного в основание пирамиды. Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

В точке А плоскости Р расположен источник света. Над плоскостью помещено полусферическое зеркало радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверхностью к плоскости, причем так, что ось симметрии зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке А. Зная, что наименьший угол между лучами, отраженными зеркалом и плоскостью Р, равен 15°, определить расстояние от зеркала до плоскости и радиус освещенного на плоскости Р круга. Смотреть решение →

Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD пронести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов А и С с биссектрисами углов В и D лежат на окружности.  Смотреть решение →

В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом α. Смотреть решение →

Тетраэдр, ребро которого равно а, пересечен плоскостью, содержащей одно из ребер тетраэдра, и делящей противоположное ребро в отношении 2 : 1. Определить площадь сечения и углы этого сечения. (Под тетраэдром здесь понимается правильный четырехгранник (иногда тетраэдром называется произвольная треугольная пирамида). Смотреть решение →