Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°. ∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1/2\(\breve{BCD}\).... Читать далее →

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом α. Под каким углом к основанию нужно пересечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах? Смотреть решение →

В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны соответственно а, b и с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол α. Определить объем параллелепипеда, боковую поверхность его и угол между ребром с и плоскостью основания. (При каких значениях угла α задача возможна?) Смотреть решение →

Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А₁, В₁, С₁, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат на одной прямой.  Смотреть решение →

Стороны треугольника: а = 13, b = 14, с = 15. Две из них (а и b) служат касательными к кругу, центр которого лежит на третьей стороне. Определить радиус круга.  Смотреть решение →

В конус вписан шар. Отношение их объемов равно n. Найти угол наклона образующей к основанию (вычислить при n = 4). Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен α. Через две противоположные стороны основания пирамиды проведены две плоскости, пересекающиеся взаимно под прямым углом. Определить длину линии их пересечения, заключенную внутри пирамиды, если известно, что она пересекает ось пирамиды. Смотреть решение →

На ребре двугранного угла дан отрезок АВ. В одной из граней дана точка М, в которой прямая, проведенная из точки А под углом α к АВ, пересекает прямую, проведенную из В перпендикулярно к АВ. Определить величину двугранного угла, если прямая AM наклонена ко второй грани двугранного угла под углом β. Смотреть решение →

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной m, наклонено к плоскости основания под углом α. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

В правильной треугольной пирамиде SABC плоский угол при вершине равен α, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d. Найти объем этой пирамиды.  Смотреть решение →

Доказать, что в любом треугольнике радиус описанного круга R и радиус вписанного круга r связаны с расстоянием l между центрами этих кругов соотношением

l ² = R² — 2Rr  Смотреть решение →