Определение: Два многогранника называются подобными, если они имеют равные многогранные углы и, соответственно, подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. Из этого определения следует, что в подобных многогранниках: Двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны. Сходственные... Читать далее →

Вершина А правильной призмы АВСА₁В₁С₁ совпадает с вершиной конуса, вершины В и С лежат на боковой поверхности этого конуса, а вершины В₁ и С₁ на окружности его основания. Найти отношение объемов конуса и призмы, если |АА₁| = 2,4|АВ|. Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике ABC катет АС в 3 раза больше катета AB. Точками К и F катет АС разделен на три равные части. Доказать, что

∠АKB + ∠AFB + ∠ACB = ^π/₂. Смотреть решение →

В тетраэдре ABCD дано ∠АВС = ∠BAD = 90°, |А В| = a, |DC| = b, угол между ребрами AD и ВС равен α. Найти радиус описанного шара. Смотреть решение →

Прямая, параллельная основанию треугольника, площадь которого равна S, отсекает от него треугольник с площадью, равной q. Определить площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.  Смотреть решение →

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁; через ребро АА₁ проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми BC и B₁D. Найти эти углы. Смотреть решение →

Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β. Определить радиус круга, если площадь трапеции Q. Смотреть решение →

Определить площадь треугольника, если даны а и b— длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами. Смотреть решение →

Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.  Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду SABC с вершиной S и основанием АВС вписан шар радиуса 2; высота пирамиды SK равна 6. Доказать, что существует единственная плоскость, пересекающая ребра основания АВ и ВС в некоторых точках М и N таких, что |MN| = 7, касающаяся шара в точке, удаленной на равные расстояния от точек М и N, и пересекающая продолжение высоты пирамиды SK за точку К в некоторой точке D. Найти длину отрезка SD. Смотреть решение →

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.  Смотреть решение →