Все точки биссектрисы угла обладают одним общим свойством: каждая из них находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла. Пусть луч АО является биссектрисой угла ВАС. Возьмем какую-нибудь произвольную точку Е на биссектрисе АО и опустим из нее на стороны угла... Читать далее →

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Определить площадь полученного сечения и острый угол его, если сторона основания призмы равна b. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней углы α и β. Высота пирамиды равна H. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Данный треугольник ABC пересечь прямой DE, параллельной ВС, так, чтобы площадь треугольника BDE равнялась заданной величине k². При каком соотношении между k²и площадью треугольника ABC задача разрешима и сколько она имеет решений?  Смотреть решение →

Дана правильная n-угольная призма. Площадь основания равна S. Две плоскости пересекают все боковые ребра призмы таким образом, что объем части призмы между плоскостями равен V. Найти сумму длин отрезков боковых ребер призмы, заключенных между плоскостями, если известно, что плоскости не имеют общих точек внутри призмы. Смотреть решение →

Даны окружность К и ее хорда АВ. Рассматриваются все треугольники, вписанные в окружность и имеющие основанием данную хорду. В каждом треугольнике взята точка пересечения высот. Найти геометрическое место этих точек. Смотреть решение →

В тетраэдр, у которого ребро равно а, вписан шар так, что он касается всех ребер тетраэдра. Определить радиус этого шара и объем части шара, расположенной вне тетраэдра. Смотреть решение →

Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями, но разными высотами, сложены этими основаниями, и около получившегося многогранника описан шар радиуса R. Найти высоты пирамид, зная, что сторона основания равна а. При каком соотношении между а и R задача разрешима? Смотреть решение →

В треугольнике с вершинами в точках М₁(-5; 2), М₂(5; 6) и М₃(1; -2) проведена медиана М₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ Смотреть решение →

В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость через диагональ основания и диагональ большей боковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между этими диагоналями равен β. Определить боковую поверхность параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения к плоскости основания, если известно, что радиус окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен R и меньший угол между диагоналями основания равен 2α. Смотреть решение →

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен √3, а боковые ребра пирамиды равны 6. Смотреть решение →