Определение: Два многогранника называются подобными, если они имеют равные многогранные углы и, соответственно, подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. Из этого определения следует, что в подобных многогранниках: Двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны. Сходственные... Читать далее →

Из точки окружности опущены перпендикуляры на стороны вписанного в нее треугольника. Доказать, что основания перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симсона) Смотреть решение →

При каких целых значениях n функция

cos nx sin ⁵/_n х

имеет период 3π *)?

*) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.

 Смотреть решение →

Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны S₁ и S₂, а расстояние между этими сечениями равно d. Найти площадь сечения, параллельного данным и делящего пополам расстояние между ними.  Смотреть решение →

На сторонах треугольника построены вне него квадраты. Доказать, что отрезок прямой, соединяющий вершины сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, проведенной из той же вершины Смотреть решение →

Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами α и β . Найти угол между этими диагоналями. Смотреть решение →

Из точки А, расположенной внутри угла с зеркальными сторонами, исходит луч света. Доказать, что число отражений, которое испытывает этот луч от сторон угла, всегда конечно. Найти это число, если данный угол равен α, а луч направлен под углом β к одной из его сторон. Выяснить условия, при которых луч снова пройдет через точку А.  Смотреть решение →

Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →

Боковые стороны трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти основания трапеции Смотреть решение →

Дан усеченный конус, у которого высота есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований. Доказать, что в конус можно вписать шар. Смотреть решение →

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2√2 , а боковое ребро равно 2√5 . Найдите объём пирамиды Смотреть решение →