Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты. Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной. 1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды,... Читать далее →

Если каждую из двух противолежащих сторон четырехугольника разделить на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то прямая соединяющая точки деления пересекает продолжения двух других сторон под равными углами Смотреть решение →

Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие части. Смотреть решение →

Найти геометрическое место проекций данной точки пространства на плоскости, проходящей через другую данную точку.  Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция с острым углом α, описанная около круга радиуса r. Через боковую сторону нижнего основания и противоположную вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Определить боковую поверхность призмы и площадь сечения. Смотреть решение →

Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, примыкающих к основаниям, равны S₁ и S₂. Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ (φ > 45° доказать это). Смотреть решение →

В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами. Смотреть решение →

Вычислить радиусы оснований усеченного конуса, описанного около шара радиуса R, зная, что отношение полной поверхности усеченного конуса к поверхности шара равно т. Смотреть решение →

Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями, но разными высотами, сложены этими основаниями, и около получившегося многогранника описан шар радиуса R. Найти высоты пирамид, зная, что сторона основания равна а. При каком соотношении между а и R задача разрешима? Смотреть решение →