Рассматривая процесс нахождения длины окружности, можно заметить, что число, на которое нужно умножить диаметр, чтобы получить длину окружности, не зависит от величины самого диаметра, так что если мы нашли, что длина какой-нибудь окружности равна её диаметру, умноженному на некоторое число,... Читать далее →

Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найти площадь трапеции. Смотреть решение →

В конус, радиус основания которого равен R и образующие наклонены к основанию под углом ^α/₂, вписана прямая треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего — на боковой поверхности конуса. Определить боковую поверхность призмы, если в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α, а высота призмы равна радиусу сечения конуса плоскостью, проходящей через верхнее основание призмы. Смотреть решение →

Через сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно к противолежащему боковому ребру. Определить полную поверхность пирамиды, если указанная плоскость делит боковое ребро в отношении m : n и сторона основания равна q. Смотреть решение →

Дана прямоугольная трапеция с основаниями а, b и меньшей боковой стороной с. Определить расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от основания а и от меньшей боковой стороны.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований равны соответственно а и 3а и боковые грани наклонены к плоскости нижнего основания под углом α. Через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположной боковой грани. Определить объем четырехугольной призмы, отсеченной от данной усеченной пирамиды, и полную поверхность остальной части ее. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Определить площадь полученного сечения и острый угол его, если сторона основания призмы равна b. Смотреть решение →

Самая большая диагональ правильной шестиугольной призмы, имеющая длину d, составляет с боковым ребром призмы угол α. Определить объем призмы. Смотреть решение →

В прямой угол с вершиной А вписана окружность; В и С — точки касания. Доказать, что если к данной окружности провести касательную, пересекающую стороны АВ и АС в точках М и N, то она отсечет на этих сторонах отрезки MB и NC, сумма длин которых больше, чем ¹/₃(АВ + АС), и меньше, чем ¹/₂ (АВ + АС)  Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике с основанием, равным 4 см, и высотой, равной 6 см, на боковой стороне, как на диаметре, построена полуокружность. Точки пересечения ее с основанием и боковой стороной соединены прямой. Определить площадь получившегося четырехугольника, вписанного в полукруг.  Смотреть решение →