Пусть нам нужно узнать, чему равняется площадь трапеции АВСD (черт. 278). Проведём в ней диагональ DВ. Трапеция разобьётся на два треугольника АDВ и DСВ. Обозначим высоту трапеции и треугольников через h, а площади треугольников АDВ и DВС - через S1,... Читать далее →

В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54√3, а радиус цилиндра равен 3. Смотреть решение →

В точке А плоскости Р расположен источник света. Над плоскостью помещено полусферическое зеркало радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверхностью к плоскости, причем так, что ось симметрии зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке А. Зная, что наименьший угол между лучами, отраженными зеркалом и плоскостью Р, равен 15°, определить расстояние от зеркала до плоскости и радиус освещенного на плоскости Р круга. Смотреть решение →

На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.  Смотреть решение →

Прямая линия — касательная к боковой поверхности конуса — составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол θ. Какой угол φ составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом α? Смотреть решение →

Доказать, что любой плоский угол произвольного четырехгранного угла меньше суммы трех других плоских углов. Смотреть решение →

Даны две параллельные прямые и точка А между ними. Найти стороны прямоугольного треугольника, вершина прямого угла которого лежит в точке А, а вершины острых углов — на заданных параллельных прямых, зная, что площадь треугольника равна заданной величине k².  Смотреть решение →

На отрезке длины 2а + 2b и его частях длины 2а и 2b как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от отрезка. Найти радиус окружности, касающейся трех построенных полуокружностей. Смотреть решение →

Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен φ. Определить плоский угол при вершине пирамиды. Смотреть решение →

На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки СМ и CN. Определить длину этих отрезков, зная периметр 2Р треугольника ABC, его основание АВ = 2а и периметр 2р четырехугольника AMNB, отсеченного прямой MN.  Смотреть решение →

АА₁ – высота равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, CD – биссектриса. Проведены DE⊥BC, DF⊥CD до пересечения со стороной ВС. Доказать, что А₁Е = 1/4 CF. Смотреть решение →