Теорема 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность. Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно... Читать далее →

В основании призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC и / BAC = 2α). Вершина А₁ верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Баковое ребро AA₁образует со стороной основания АВ угол, равный 2α. Определить объем и боковую поверхность призмы. Смотреть решение →

Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна а, расстояние между их основаниями равно b. Определить площадь ромба. Смотреть решение →

Через вершину правильной четырехугольной пирамиды под углом φк основанию пирамиды проведена плоскость параллельно стороне основания. Сторона основания пирамиды равна а, а плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найти площадь сечения пирамиды. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ (φ > 45° доказать это). Смотреть решение →

Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом ^α/₂, Определить площадь этого сечения. Смотреть решение →

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Смотреть решение →

В точках А и В прямой, по одну сторону от нее, восставлены два перпендикуляра АА₁ = а и ВВ₁ = b. Доказать, что при сохранении величин а и b точка пересечения прямых АВ₁ и А₁В будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой АВ независимо от положения точек А и В.  Смотреть решение →

Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны S₁ и S₂, а расстояние между этими сечениями равно d. Найти площадь сечения, параллельного данным и делящего пополам расстояние между ними.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды АВСЕН служит выпуклый четырехугольник АВСЕ, который диагональю BE делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра АВ равна 1, длины ребер ВС и СЕ равны. Сумма длин ребер АН и ЕН равна \(\sqrt2\). Объем пирамиды равен 1/6. Найти радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит многоугольник, описанный около круга радиуса r ; периметр многоугольника равен 2р, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →