Определение. Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если, пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы. Теoрема (выражающая признак перпендикулярности двух плоскостей). Если плоскость (Р, черт. 31) проходит через перпендикуляр (АВ) к другой плоскости (Q), то она перпендикулярна к этой плоскости. Пусть DE... Читать далее →

Через вершину правильной четырехугольной пирамиды под углом φк основанию пирамиды проведена плоскость параллельно стороне основания. Сторона основания пирамиды равна а, а плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найти площадь сечения пирамиды. Смотреть решение →

Дана прямоугольная трапеция с основаниями а, b и меньшей боковой стороной с. Определить расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от основания а и от меньшей боковой стороны.  Смотреть решение →

В правильный треугольник, сторона которого равна а, вписаны три равных круга, касательных друг к другу. Каждый из них касается двух сторон данного треугольника. Определить радиусы этих кругов. Смотреть решение →

Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, представляет круговой сектор с углом αи хордой а. Определить объем конуса. Смотреть решение →

Два шара касаются между собой и граней двугранного угла, величина которого α. Пусть А в В - две точки касания этих шаров с гранями (А и В принадлежат разным шарам и разным граням). В каком отношении отрезок АВ делится точками пересечения с поверхностями этих шаров? Смотреть решение →

Определить углы прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга как 5:2. Смотреть решение →

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Смотреть решение →

В квадрат со стороной а вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого квадрата. Определить отрезки, на которые стороны первого квадрата рассекаются вершинами второго квадрата, если площадь второго квадрата равна ²⁵/₄₉ площади первого квадрата.  Смотреть решение →

Построить отрезки, пропорциональные двум данным отрезкам АВ и СD Смотреть решение →

Три последовательные стороны плоского выпуклого пятиугольника равны 1, 2 и а. Найти оставшиеся две стороны этого пятиугольника, если известно, что он является ортогональной проекцией на плоскость правильного пятиугольника. При каких значениях а задача имеет решение? Смотреть решение →