Теория
Рассмотрим некоторую плоскость р и точку М. Ортогональной проекцией точки М на плоскость р называется основание М0 перпендикуляра к плоскости р, проведенного через точку М (рис. 157). Плоскость р называют в этом случае плоскостью проекции. Существует единственный перпендикуляр к плоскости р,... Читать далее →


Задачи
  • Внутри правильного треугольника ABC взята произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PD, РЕ и PF соответственно на ВС, СА и АВ. Вычислить \(\frac{PD + PE + PF}{BD + CE + AF} \) Смотреть решение →
  • Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см. Смотреть решение →
  • К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные - внутренняя и две внешние. Определить длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными. Смотреть решение →
  • В прямоугольном треугольнике ABC катет АС в 3 раза больше катета AB. Точками К и F катет АС разделен на три равные части. Доказать, что

    ∠АKB + ∠AFB + ∠ACB = π/2. Смотреть решение →

  • В треугольной пирамиде SABC с основанием АВС и равными боковыми ребрами сумма двугранных углов с ребрами SA и SC равна 180°. Известно, что |АВ| = a, |ВС| = b. Найти длину бокового ребра. Смотреть решение →
  • Основанием пирамиды служит многоугольник, описанный около круга радиуса r ; периметр многоугольника равен 2р, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие части. Смотреть решение →
  • Найти отношение площади треугольника ABC к площади другого треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.  Смотреть решение →
  • Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V. Под тетраэдром здесь понимается правильный четырехгранник (иногда тетраэдром называется произвольная треугольная пирамида). Смотреть решение →
  • Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.  Смотреть решение →