Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному векторуПусть дана некоторая точка M0 и вектор n. Проведем через точку M0 прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82). Пусть M - произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том... Читать далее →

В пирамиде SABC прямая, пересекающая ребра АС и BS и перпендикулярная к ним, проходит через середину ребра BS. Грань ASB равновелика грани BSC, а площадь грани ASC в два раза больше площади грани BSC. Внутри пирамиды есть точка М, сумма расстояний от которой до вершин В и S равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найти расстояние от точки М до вершины В, если |АС| = √6, |ВS| = 1. Смотреть решение →

В треугольной пирамиде SABC ребра SA, SC и SB попарно перпендикулярны, АВ = ВС = a, BS = b. Найти радиус вписанного в пирамиду шара.  Смотреть решение →

В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →

Три точки А, B и С, расположенные на поверхности сферы радиуса R, попарно соединены дугами больших кругов, меньшими полуокружности. Через середины дуг \(\smile АВ\) и \(\smile АС\) проведен еще один большой круг, пересекающий продолжение \(\smile ВС\) в точке К. Найти длину дуги \(\smile СК\), если |ВС| = l (l < πR). Смотреть решение →

Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и bот его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла. Смотреть решение →

На двух параллельных плоскостях расположены отрезки АВ и CD. Концы этих отрезков являются вершинами некоторой треугольной пирамиды. Доказать, что объем пирамиды сохраняется, если отрезки перемещать в этих плоскостях параллельно самим себе. Смотреть решение →

Доказать, что если P, Q, R являются, соответственно, точками пересечения сторон BC, CA, AB (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то

\(\frac{PB \cdot QC \cdot RA}{PC \cdot QA \cdot RB} = 1\)

 Смотреть решение →

Определить радиусы двух внешне касающихся кругов, если расстояние между их центрами равно d, а угол между общими внешними касательными равен φ. Смотреть решение →

Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см. Смотреть решение →

Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением оснований.  Смотреть решение →