Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (рис. 267). Построим на его сторонах квадраты. Площадиэтих квадратов соответственно равны а2, b2и с2. Докажем, что с2 =... Читать далее →

В правильном тетраэдре точки М и N являются серединами противоположных ребер. Проекция тетраэдра на плоскость, параллельную MN, представляет собой четырехугольник площади S, один из углов которого равен 60°. Найти площадь поверхности тетраэдра. Смотреть решение →

Доказать, что если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник есть трапеция. Смотреть решение →

Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.  Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой стороной b угол при вершине равен 20°. Доказать, что а³ + b ³ = 3аb².  Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС и АС продолжены за точку С так, что СА’ = СА и СВ’ = CВ. Точки А’ и В’ соединены прямой. Пусть СМ – медиана, СН – высоты треугольника АВС. Доказать, что: 1) продолжение СН’ медианы МС до пересечения с А’В’ – высота треугольника А’В’С; 2) продолжение СМ’ высоты НС до пересечения с А’В’ – медиана треугольника А’В’С. Смотреть решение →

Рассматривается проекция куба с ребром а на плоскость, перпендикулярную к одной из диагоналей куба. Во сколько раз площадь проекции будет больше площади сечения куба плоскостью, проходящей через середину диагонали куба перпендикулярно к ней?  Смотреть решение →

Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника.  Смотреть решение →

Из точки сферы радиуса R проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определить длину этих хорд.  Смотреть решение →

Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей. Смотреть решение →

Построение окружности по трём данным точкам. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность. Смотреть решение →