Теория
Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с: m = xa + yb + zc. (1) Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b,... Читать далее →


Задачи
  • В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать, что α < 30°.) Смотреть решение →
  • При каких целых значениях n функция

    cos nx sin 5/n х

    имеет период 3π *)?

    *) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.

     Смотреть решение →
  • В прямоугольной трапеции, высота которой равна h , на стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диаметре, описана окружность, и оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты — основания трапеции. Смотреть решение →
  • Пусть R - радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, r- радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Доказать, что

    R/r > √2 + 1
    Указание. Выразить R/rчерез tg α/2, где α - двугранный угол между основанием и боковой гранью. Смотреть решение →

  • В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом αпри основании. Каждый двугранный угол при основании равен φ = 90°— α. Боковая поверхность пирамиды равна S. Определить объем пирамиды и полную поверхность ее. Смотреть решение →
  • Четыре стороны равнобочной трапеции касаются цилиндра, ось которого перпендикулярна к параллельным сторонам трапеции. Найти угол, образуемый плоскостью трапеции с осью цилиндра, зная, что длины оснований трапеции равны а и b, а высота трапеции равна h. Смотреть решение →
  • Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник АВС со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно 10√3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Определить радиус цилиндра. Смотреть решение →
  • В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В. По данным сторонам b и с найти а. Смотреть решение →
  • В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC и ∠ABC = α). Вершина В1верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание. Через сторону АС основания и вершину В1 проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Найти полную поверхность отсеченной треугольной пирамиды АВСВ1 и объем призмы. Смотреть решение →
  • От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, зная, что угол при вершине треугольника, получающегося в сечении, равен а. Смотреть решение →