Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l1 || l и m1 || m (рис. 138). Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной... Читать далее →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен √3, а высота пирамиды равна 4√3. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π. Смотреть решение →

Расстояние   между   центрами  двух пересекающихся кругов радиусов R и r  равно d.   Найти  площадь их общей части. Смотреть решение →

В шар вписан конус, объем которого равен ¹/₄ объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна Н. Смотреть решение →

В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник ABC, сумма катетов которого равна m и угол при вершине А равен α. Боковая грань призмы, проходящая через катет АС, наклонена к основанию под углом β. Через гипотенузу AВ и через вершину С₁ противоположного трехгранного угла проведена плоскость. Определить объём отсеченной треугольной пирамиды, если известно, что боковые ребра ее равны между собой. Смотреть решение →

Доказать, что для объема произвольного тетраэдра V справедлива формула \(V = \frac{1}{6}abd sin\phi\), где а и b — два противоположных ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, \(\phi\) — угол между ними. Смотреть решение →

Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.  Смотреть решение →

Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями сложены этими основаниями. Найти радиус шара, вписанного внутрь получившегося многогранника, зная, что сторона общего основания пирамид равна а, а высоты пирамид равны h и H. Смотреть решение →

Решить уравнение 1 + cos x + sin x = 0 Смотреть решение →