Все точки биссектрисы угла обладают одним общим свойством: каждая из них находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла. Пусть луч АО является биссектрисой угла ВАС. Возьмем какую-нибудь произвольную точку Е на биссектрисе АО и опустим из нее на стороны угла... Читать далее →

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен √3, а боковые ребра пирамиды равны 6. Смотреть решение →

Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V. Под тетраэдром здесь понимается правильный четырехгранник (иногда тетраэдром называется произвольная треугольная пирамида). Смотреть решение →

Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что объем шара, описанного около пирамиды, равен V, а перпендикуляр, опущенный из центра шара на ее боковую грань, образует с высотой пирамиды угол α. Смотреть решение →

Три точки А, B и С, расположенные на поверхности сферы радиуса R, попарно соединены дугами больших кругов, меньшими полуокружности. Через середины дуг \(\smile АВ\) и \(\smile АС\) проведен еще один большой круг, пересекающий продолжение \(\smile ВС\) в точке К. Найти длину дуги \(\smile СК\), если |ВС| = l (l < πR). Смотреть решение →

В треугольной пирамиде две боковые грани суть равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и образуют между собой угол α. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

В пирамиде SABC произведения длин ребер каждой из четырех граней равны одному и тому же числу. Длина высоты пирамиды, опущенной из S на грань АВС, равна \(2\sqrt{\frac{102}{55}}\), а величина угла CAB равна \(arccos(\frac{1}{6}\sqrt{\frac{17}{2}})\). Найти объем пирамиды SABC, если |SA|² + |SB|² - 5|SC|² = 60 Смотреть решение →

Вычислить угол между прямой и плоскостью: $$ а) \; \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-7}{-1} \;\;и\;\; 4x+y+z+13=0 \\ б) \begin{cases} x = 2-3t\\y=1-t\\z=-4t\end{cases} \;\;и \;\;x+2y-z+1=0 \\ в) \begin{cases} 3x-2y+z+1=0\\4x-3y+4z=0\end{cases} \;\;и \;\;2x-y-2z+5=0 $$ Смотреть решение →

Определить радиусы двух шаров, которые, пересекаясь, образуют двояковыпуклую линзу, если известны толщина линзы 2а, полная ее поверхность S и диаметр 2R.  Смотреть решение →

В конус, образующая которого l наклонена к плоскости основания под углом α, вписана правильная n-угольная призма, все ребра которой равны между собой, Найти полную поверхность призмы. Смотреть решение →