Теорема. Биссектриса любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Требуется доказать, что если ∠ABD = ∠DBC, то AD : DC = АВ : ВС. Проведём СЕ || BD до пересечения в точке... Читать далее →

Пирамида имеет в основании правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания, а противоположное ему ребро MD наклонено к плоскости основания под углом α. Определить углы наклона боковых граней к плоскости основания. Смотреть решение →

На столе, касаясь друг друга, лежат четыре шара одинакового радиуса r. Сверху в ямку, образованную ими, положен пятый шар того же радиуса. Найти расстояние от верхней точки пятого шара до плоскости стола. Смотреть решение →

В правильном тетраэдре SABC с ребром основания а проведены три плоскости, каждая из которых проходит через одну из вершин основания тетраэдра ABC и середины двух боковых ребер. Найти объем части тетраэдра, расположенной над всеми секущими плоскостями.  Смотреть решение →

Точка О - общая вершина двух равных конусов, расположенных по одну сторону от плоскости α так, что только одна образующая каждого конуса (ОА для одного конуса и ОВ для другого) принадлежит плоскости α. Известно, что величина угла между высотами конусов равна β, а величина угла между высотой и образующей конуса равна φ, причем 2φ < β. Найти величину угла между образующей ОА и плоскостью основания другого конуса, которой принадлежит точка В. Смотреть решение →

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом α. Под каким углом к основанию нужно пересечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах? Смотреть решение →

Решить уравнение sin 2х = cos х sin 2x Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ (φ > 45° доказать это). Смотреть решение →

Два равных треугольника \(\Delta KLM\) и \(\Delta KLN\) имеют общую сторону KL, ∠KLM = ∠LKN = π/3, |KL| = a, |LM| = |KN| = 6c. Плоскости KLM и KLN взаимно перпендикулярны. Шар касается отрезков LM и KN в их серединах. Найти радиус шара. Смотреть решение →

На стороне АВ прямоугольника ABCD найти такую точку Е, из которой стороны AD и DC были бы видны под равными углами.
При каком соотношении между сторонами прямоугольника задача разрешима? Смотреть решение →

На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности, меньшей, чем данные, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей. Смотреть решение →