Пусть требуется определить площадь треугольника АВС. Проведём через вершины его С и В прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Мы получим параллелограмм АВDС. Площадь его равна произведению основания АВ на высоту СО. Параллелограмм АВDС состоит из двух равных треугольников АВС... Читать далее →

Рассматриваем куб с ребром а. Через концы каждой тройки ребер, выходящих из общей вершины, проведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими плоскостями.  Смотреть решение →

Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную точку С. Разобрать случаи, когда данная точка находится вне шара, на поверхности шара или внутри шара. Смотреть решение →

Основанием призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник АВС со стороной a. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной АВ и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины А, В, А₁, С₁ равен a. Найти объем призмы. Смотреть решение →

Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.  Смотреть решение →

Из точки, отстоящей от центра круга на m см, проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно a см. Определить радиус круга.  Смотреть решение →

Дан конус объема V, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α. На какой высоте надо провести плоскость, перпендикулярную к оси конуса, чтобы сечение конуса разделило пополам его боковую поверхность? Тот же вопрос для полной поверхности. Смотреть решение →

Дана правильная треугольная пирамида SABC (S - ее вершина). Ребро SC этой пирамиды совпадает с боковым ребром правильной треугольной призмы A₁B₁CA₂B₂S (А₁А₂, В₁В₂ и CS - боковые ребра, а А₁В₁С- одно из оснований). Вершины А₁ и В₁ лежат в плоскости грани SAB пирамиды. Какую долю от объема всей пирамиды составляет объем части пирамиды, лежащей внутри призмы, если отношение длины бокового ребра пирамиды к стороне ее основания равно \(\frac{2}{\sqrtЗ}\)? Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41. Смотреть решение →

Две окружности радиусов R и r находятся в положении внешнего касания. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус. Смотреть решение →

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с углом β при вершине В (β < 45°). Разность между площадями ее боковых граней, проходящих через катеты ВС и АС, равна S. Найти площадь сечения призмы плоскостью, образующей с плоскостью основания угол φ и проходящей через три точки: вершину В₁ угла β верхнего основания, середину бокового ребра АА₁ и точку D, расположенную на плоскости основания симметрично с вершиной В относительно катета АС. Смотреть решение →