При решении некоторых задач бывают полезны следующие формулы: $$ tgx + tgy = \frac{sin(x+y)}{cosx cosy} $$ $$ tgx - tgy = \frac{sin(x-y)}{cosx cosy} $$ Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов. Разность тангенсов двух углов... Читать далее →

Даны три плоских угла трехгранного угла SABC: ∠BSC= α; ∠CSA =β; ∠ASB = γ. Найти двугранные углы этого трехгранного угла. Смотреть решение →

Треугольник ABC вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолженной стороной ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС = 5 см, AD = 5√6см. Смотреть решение →

Выразить диагонали вписанного четырехугольника через его стороны. Получить отсюда теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Смотреть решение →

Доказать, что, по крайней мере, одно из оснований перпендикуляров, опущенных из произвольно взятой внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении,  Смотреть решение →

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде даны: диагональ d, двугранный угол αпри нижнем основании и высота H. Найти объем усеченной пирамиды. Смотреть решение →

Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом α и пересекает это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом β и пересекает основание по хорде, длина которой равна b. Определить объем конуса. Смотреть решение →

Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол α, а сторона основания равна b. Смотреть решение →

Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r. Смотреть решение →

Треугольник АВС после поворота около вершины А занял положение АВ’С’. Доказать, что если прямая АС делит отрезок ВВ’ пополам, то прямая АВ’ делит пополам отрезок СС’ Смотреть решение →

В треугольной пирамиде две боковые грани суть равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и образуют между собой угол α. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →