Теория
Теорема. Биссектриса любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Требуется доказать, что если ∠ABD = ∠DBC, то AD : DC = АВ : ВС. Проведём СЕ || BD до пересечения в точке... Читать далее →


Задачи
  • Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные его сторонам. Эти прямые разделяют площадь треугольника на шесть частей, три из которых - треугольники с площадями, равными S1, S2, S3. Найти площадь данного треугольника. Смотреть решение →
  • Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной m, наклонено к плоскости основания под углом α. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (ABCD - основание) сторона основания равна a, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α. Плоскость, параллельная диагонали основания АС и боковому ребру BS, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность. Определить радиус этой окружности. Смотреть решение →
  • Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →
  • Рассматривается функция

    f (х) = A cos х + В sin х,

    где A и В - некоторые постоянные.

    Доказать, что если f (х)обращается в нуль при двух значениях аргумента x1 и x2 таких, что

    x1 - x2 =/= kπ

    (k - целое число), то функция f (х) тождественно равна нулю Смотреть решение →

  • В треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на наибольшей стороне треугольника. Доказать неравенство √2r < х < 2r , где х - длина стороны квадрата, r - радиус круга, вписанного в данный треугольник.  Смотреть решение →
  • Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5). Смотреть решение →
  • Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат. Смотреть решение →
  • В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами. Смотреть решение →
  • Дана правильная n-угольная призма. Площадь основания равна S. Две плоскости пересекают все боковые ребра призмы таким образом, что объем части призмы между плоскостями равен V. Найти сумму длин отрезков боковых ребер призмы, заключенных между плоскостями, если известно, что плоскости не имеют общих точек внутри призмы. Смотреть решение →