Теория
Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию х • а + у • b = 0, (1) то х = 0 и у = 0. В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1)... Читать далее →


Задачи
  • Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной пирамиды равны, то все ребра этой пирамиды также равны. Смотреть решение →
  • Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна m. Двугранный угол при основании равен α. Найти полную поверхность пирамиды. Смотреть решение →
  • Две окружности радиусов R и r находятся в положении внешнего касания. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус. Смотреть решение →
  • Сторона основания правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 12, а боковое ребро \(2\sqrt6\) . Найдите градусную меру угла между плоскостями AB1C и ABC. Смотреть решение →
  • Два треугольника ABC и А1В1С1 расположены симметрично друг другу относительно центра их общего вписанного круга радиуса r . Доказать, что произведение площадей ABC, А1В1С1 и шести треугольников, получившихся при пересечении сторон \(\Delta\)ABC и \(\Delta\)А1В1С1, равно r 16.  Смотреть решение →
  • Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Показать, что если плоскость, проведенная через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, отсекает от параллелепипеда правильный тетраэдр, то параллелепипед можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник. Смотреть решение →
  • В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1С и прямой А1В, если AA1=3, AB=4, BC= 4. Смотреть решение →
  • В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 30o. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?  Смотреть решение →
  • В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, зная, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии dСмотреть решение →