Пусть требуется найти площадь параллелограмма АВСD (рис. 272, а). Примем сторону АВ за основание параллелограмма и из вершин D и С проведём высоты DМ и СK. Площадь полученного прямоугольника МKСD равна произведению МК на DМ. Треугольники АDМ и ВСК равны, так... Читать далее →

Центр сферы α лежит на поверхности сферы β. Отношение поверхности сферы β, лежащей внутри сферы α, ко всей поверхности сферы α равно 1/5. Найти отношение радиусов сфер α и β. Смотреть решение →

В основании пирамиды ромб со стороной а. Две соседние грани составляют с плоскостью основания угол α, третья боковая грань составляет с плоскостью основания угол β(доказать, что и четвертая боковая грань наклонена к основанию под тем же углом). Высота пирамиды Н. Найти объем пирамиды и полную поверхность ее. Смотреть решение →

Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдет через точку пересечения диагоналей. Смотреть решение →

В конус с радиусом основания R и углом α между высотой и образующей вписан шар, касающийся основания и боковой поверхности конуса. Определите объем части конуса, расположенной над шаром. Смотреть решение →

Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Смотреть решение →

Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями, но разными высотами, сложены этими основаниями, и около получившегося многогранника описан шар радиуса R. Найти высоты пирамид, зная, что сторона основания равна а. При каком соотношении между а и R задача разрешима? Смотреть решение →

Ребро правильного тетраэдра равно a. Плоскость P проходит через вершину В и середины ребер АС и AD. Шар касается прямых AB, АС, AD и той части плоскости P, которая заключена внутри тетраэдра. Найти радиус шара. Смотреть решение →

Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(-5; 0; 8) и перпендикулярной плоскости 2х - 3у + 5z = 0 Смотреть решение →

Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β. Определить радиус круга, если площадь трапеции Q. Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведенного из вершины треугольника к его основанию и делящего угол между равными сторонами в отношении 1:2, равна t. Определить площадь этого треугольника. Смотреть решение →