Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно... Читать далее →

В треугольнике АВС АL – биссектриса угла А.Через точку А проводят прямую перпендикулярно АL и из вершины В опускают на эту прямую перпендикуляр ВВ₁. Доказать, что периметр треугольника ВВ₁С больше периметра треугольника АВС. Смотреть решение →

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно а и угол при основании равен α. Определить объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площадей ее оснований. Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом α. Через вершину прямого угла нижнего основания проведена плоскость, параллельная гипотенузе, под углом β= 90°— α к противолежащей боковой грани и пересекающая ее. Определить объем части призмы между ее основанием и сечением и боковую поверхность призмы, если известно, что боковая грань, проходящая через катет а, равновелика сечению призмы. Определить, при каком значении угла αплоскость сечения пересекает боковую грань, проходящую через гипотенузу основания. Смотреть решение →

Через одну из точек С дуги АВ окружности проведены две произвольные прямые, пересекающие хорду АВ в точках D и Е, а окружность в точках F и G. При каком положении точки С на АВ вокруг четырехугольника DEGF можно описать круг? Смотреть решение →

Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине осевого сечения равен α. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг конуса. Смотреть решение →

Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →

В конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, налита вода и положен шар радиуса r. Тогда оказалось, что уровень воды касается шара. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут. Смотреть решение →

Три шара, среди которых имеются два одинаковых, касаются плоскости Р и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости Р, а ось конуса перпендикулярна этой плоскости. Все три шара расположены вне конуса, причем каждый из них касается его боковой поверхности. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью Р, если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью один из углов равен 150°. Смотреть решение →

Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле \(S = 2\pi Rh\), где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями. Смотреть решение →

Даны две скрещивающиеся прямые, наклоненные друг к другу под углом φ и имеющие общий пересекающий их перпендикуляр PQ = h. На этих прямых даны две точки А и В, из которых отрезок PQ виден под углами αи β. Определить длину отрезка АВ. Смотреть решение →