Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (рис. 364). Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза: \(\frac{AB}{A’B’}\) = 2; \(\frac{AC}{A’C’}\) = 2; \(\frac{BC}{B’C’}\) = 2. У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных... Читать далее →

На сторонах AB и АС треугольника ABC отложено в противоположных направлениях два равных отрезка BD = СЕ. Доказать, что отрезок DE делится стороной BC в отношении, обратном отношению сторон AB и АС. Смотреть решение →

Одна из двух треугольных пирамид с общим основанием расположена внутри другой. Доказать, что сумма плоских углов при вершине внутренней пирамиды больше, чем сумма плоских углов при вершине внешней. Смотреть решение →

В сферу S радиуса R вписаны восемь сфер меньшего радиуса, каждая из которых касается двух соседних, а все вместе касаются сферы S по окружности большого круга. Затем в пространство между сферами вписана еще одна сфера S₁, которая касается всех восьми сфер меньшего радиуса и сферы S. Найти радиус ρ этой последней сферы.  Смотреть решение →

Определить угол между осью и образующей такого конуса, у которого полная поверхность в n раз больше площади осевого сечения. Смотреть решение →

В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конус наклонена к основанию под углом α. Найти боковую поверхность усеченного конуса. Смотреть решение →

Прямая пересекает параллельные стороны квадрата; вторая прямая, перпендикулярная первой, пересекает две другие стороны квадрата. Доказать, что отрезки этих прямых, ограниченные точками пересечения со сторонами квадрата, равны между собой. Смотреть решение →

Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β. Определить радиус круга, если площадь трапеции Q. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ (φ > 45° доказать это). Смотреть решение →

Основанием призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник АВС со стороной a. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной АВ и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины А, В, А₁, С₁ равен a. Найти объем призмы. Смотреть решение →

На сторонах АВ, АС, ВС треугольника ABC, как на основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, ВСR, два первых - вне данного треугольника, третий - по ту же сторону, что и данный треугольник. Доказать, что APRQ — параллелограмм (или что точки А, Р, R, Q лежат на одной прямой).  Смотреть решение →