Пусть дана некоторая точка М0 и вектор n. Проведем через точку М0 прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82). Пусть M - произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}\)... Читать далее →

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.  Смотреть решение →

Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно l , а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен β. Смотреть решение →

Над плоским потолком зала, имеющего форму квадрата со стороной а, сделана крыша, построенная следующим образом: каждая пара смежных вершин квадрата, образующего потолок зала, соединена прямыми с серединой противолежащей стороны, на каждом из получившихся четырех треугольников, как на основании, построена пирамида, вершина которой проектируется в середину соответствующей стороны квадрата. Расположенные выше других части граней этих четырех пирамид образуют крышу. Найти объем чердака (т. е. пространства между потолком и крышей), если высота каждой из пирамид равна h.  Смотреть решение →

Объем тетраэдра ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом отношение длины отрезка DM к длине отрезка СМ равно 2/3. Вычислить площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1. Смотреть решение →

В конус, радиус основания которого равен R и образующие наклонены к основанию под углом ^α/₂, вписана прямая треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего — на боковой поверхности конуса. Определить боковую поверхность призмы, если в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α, а высота призмы равна радиусу сечения конуса плоскостью, проходящей через верхнее основание призмы. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде центр описанного шара лежит на поверхности вписанного шара. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды. Смотреть решение →

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, М - центр грани АВВ₁А₁, N - точка на ребре B₁C₁, L - середина А₁В₁, К - основание перпендикуляра, опущенного из N на ВС₁. В каком отношении точка N делит ребро В₁С₁, если ∠LMK = ∠MKN? Смотреть решение →

Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом ^α/₂, Определить площадь этого сечения. Смотреть решение →

Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Определить радиусы вписанного и описанного кругов. Смотреть решение →

Три шара, среди которых имеются два одинаковых, касаются плоскости Р и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости Р, а ось конуса перпендикулярна этой плоскости. Все три шара расположены вне конуса, причем каждый из них касается его боковой поверхности. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью Р, если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью один из углов равен 150°. Смотреть решение →