Теорема 1. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Пусть в четырёхугольнике AВDС (рис. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник... Читать далее →

Ребро правильного тетраэдра равно a. Плоскость P проходит через вершину В и середины ребер АС и AD. Шар касается прямых AB, АС, AD и той части плоскости P, которая заключена внутри тетраэдра. Найти радиус шара. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит многоугольник, описанный около круга радиуса r ; периметр многоугольника равен 2р, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Прямая, параллельная основанию треугольника, площадь которого равна S, отсекает от него треугольник с площадью, равной q. Определить площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.  Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Смотреть решение →

В правильный треугольник, сторона которого равна а, вписаны три равных круга, касательных друг к другу. Каждый из них касается двух сторон данного треугольника. Определить радиусы этих кругов. Смотреть решение →

Стороны треугольника равны 6 см, 7 см, 9 см. Из трех вершин, как из центров, проведены взаимно касающиеся окружности, причем окружность, центр которой лежит в вершине наименьшего угла треугольника, имеет с остальными двумя окружностями внутреннее касание, а остальные две между собой имеют внешнее касание. Определить радиус трех окружностей. Смотреть решение →

Доказать, что для любой замкнутой не пересекающей себя ломаной линии в плоскости существует круг, радиус которого составляет ¹/₄ периметра ломаной линии и вне которого нет ни одной точки ломаной. Смотреть решение →

Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания, равной а, и двугранным углом при основании, равным 2α, пересечена плоскостью, делящей пополам двугранный угол при основании. Найти площадь сечения.  Смотреть решение →

Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверхность — Р. Определить угол между высотой и образующей. Смотреть решение →