Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой. Пусть прямая l с направляющим вектором... Читать далее →

В сферу S радиуса R вписано восемь равных сфер, каждая из которых касается трех соседних сфер и сферы S. Найти радиус вписанных сфер, зная, что их центры лежат в вершинах некоторого куба.  Смотреть решение →

В конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, налита вода и положен шар радиуса r. Тогда оказалось, что уровень воды касается шара. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут. Смотреть решение →

Два треугольника ABC и А₁В₁С₁ расположены симметрично друг другу относительно центра их общего вписанного круга радиуса r . Доказать, что произведение площадей ABC, А₁В₁С₁ и шести треугольников, получившихся при пересечении сторон \(\Delta\)ABC и \(\Delta\)А₁В₁С₁, равно r ¹⁶.  Смотреть решение →

Решить уравнение 1 + cos x + sin x = 0 Смотреть решение →

Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон треугольника — 6050. Найти стороны. Смотреть решение →

Дана правильная треугольная пирамида SABC (S - ее вершина). Ребро SC этой пирамиды совпадает с боковым ребром правильной треугольной призмы A₁B₁CA₂B₂S (А₁А₂, В₁В₂ и CS - боковые ребра, а А₁В₁С- одно из оснований). Вершины А₁ и В₁ лежат в плоскости грани SAB пирамиды. Какую долю от объема всей пирамиды составляет объем части пирамиды, лежащей внутри призмы, если отношение длины бокового ребра пирамиды к стороне ее основания равно \(\frac{2}{\sqrtЗ}\)? Смотреть решение →

Найти двугранный угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол, образуемый боковой гранью с основанием, равен α. Смотреть решение →

Найти сумму \(\overrightarrow{KD}\) + \(\overrightarrow{MC}\) + \(\overrightarrow{DM}\) + \(\overrightarrow{CK}\) Смотреть решение →

На ребре двугранного угла дан отрезок АВ. В одной из граней дана точка М, в которой прямая, проведенная из точки А под углом α к АВ, пересекает прямую, проведенную из В перпендикулярно к АВ. Определить величину двугранного угла, если прямая AM наклонена ко второй грани двугранного угла под углом β. Смотреть решение →

Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трех других. Пятый шар касается каждого из данных шаров внешним образом, шестой — внутренним образом. Найти отношение объема шестого шара V₆ к объему пятого V₅.  Смотреть решение →