Теорема. Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°. В четырёхугольнике АВСD проведём диагональ АС. Тогда четырёхугольник разобьётся на два треугольника АВС и АСD. ∠1 + ∠B + ∠2 = 180° и ∠3 + ∠D+ ∠4 = 180° Отсюда получим: ∠1 + ∠B + ∠2... Читать далее →

В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы. Смотреть решение →

Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну из его диагоналей. Как должна быть проведена эта плоскость, чтобы площадь сечения получилась наименьшей? Смотреть решение →

В шаре радиуса R проведен диаметр АВ. Две прямые касаются шара в точках А и В и образуют между собой угол α (α < 90°). На этих прямых взяты точки С и D так, что CD также касается шара и угол между АВ и CD равен φ (φ < 90°). Найти объем тетраэдра ABCD. Смотреть решение →

Перпендикуляр, опущенный из вершины угла при основании равнобедренного треугольника на противоположную сторону, делит последнюю в отношении m :n. Найти углы треугольника. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными а, и углом между ними, равным α. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких q задача разрешима? Смотреть решение →

На боковых гранях правильной четырехугольной пирамиды построены, как на основаниях, правильные тетраэдры. Найти расстояние между наружными вершинами двух смежных тетраэдров, если сторона основания пирамиды равна а.  Смотреть решение →

В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 30^o. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?  Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом α. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Найти объем пирамиды и плоские углы при вершине ее. Смотреть решение →

Доказать, что объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего, можно вычислять по формуле \(V=\frac{1}{6}\pi a^2h\), где a - длина хорды этого сегмента, a h - проекция этой хорды на диаметр. Смотреть решение →