Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности |CM| = R (1) Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с... Читать далее →

Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольник с острым углом между диагоналями а (а < 60°), боковые ребра ее равны между собой, а высота h. Внутри этой пирамиды расположена треугольная пирамида, вершина которой совпадает с вершиной первой пирамиды, а вершины основания лежат по одной на трех сторонах прямоугольника. Найти объем четырехугольной пирамиды, если все ребра треугольной пирамиды равны между собой, а боковые грани равновелики. Смотреть решение →

Через середину С произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (К и M находятся по одну сторону от AB), Q — точка пересечения AB и KN, P — точка пересечения AB и ML. Доказать, что QC = CP.  Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде с боковыми ребрами AA₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ сторона верхнего основания A₁B₁C₁D₁ равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро В₁С₁ перпендикулярно к плоскости AD₁C, делит пирамиду на две части равного объема. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать, что α < 30°.) Смотреть решение →

Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника.  Смотреть решение →

Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению \(R^2 + R – 6 = 0\). Найдите объём призмы.  Смотреть решение →

Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна H, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углами αи β. Найти ее боковую поверхность. Смотреть решение →

Три шара, среди которых имеются два одинаковых, касаются плоскости Р и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости Р, а ось конуса перпендикулярна этой плоскости. Все три шара расположены вне конуса, причем каждый из них касается его боковой поверхности. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью Р, если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью один из углов равен 150°. Смотреть решение →

В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →