Теорема. Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°. В четырёхугольнике АВСD проведём диагональ АС. Тогда четырёхугольник разобьётся на два треугольника АВС и АСD. ∠1 + ∠B + ∠2 = 180° и ∠3 + ∠D+ ∠4 = 180° Отсюда получим: ∠1 + ∠B + ∠2... Читать далее →

В правильной шестиугольной пирамиде через центр основания проведено сечение параллельно боковой грани. Найти отношение площади сечения к площади боковой грани.  Смотреть решение →

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, М - центр грани АВВ₁А₁, N - точка на ребре B₁C₁, L - середина А₁В₁, К - основание перпендикуляра, опущенного из N на ВС₁. В каком отношении точка N делит ребро В₁С₁, если ∠LMK = ∠MKN? Смотреть решение →

Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и bот его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла. Смотреть решение →

n равных конусов имеют общую вершину. Каждый касается двух других по образующей, а все касаются одной плоскости. Найти угол при вершине осевого сечения этих конусов. Смотреть решение →

Три последовательные стороны плоского выпуклого пятиугольника равны 1, 2 и а. Найти оставшиеся две стороны этого пятиугольника, если известно, что он является ортогональной проекцией на плоскость правильного пятиугольника. При каких значениях а задача имеет решение? Смотреть решение →

Найти объем треугольной пирамиды, если площади ее граней равны S₀, S₁, S₂, S₃, а двугранные углы, прилежащие к грани с площадью S₀, равны между собой.  Смотреть решение →

Дана правильная n-угольная призма. Площадь основания равна S. Две плоскости пересекают все боковые ребра призмы таким образом, что объем части призмы между плоскостями равен V. Найти сумму длин отрезков боковых ребер призмы, заключенных между плоскостями, если известно, что плоскости не имеют общих точек внутри призмы. Смотреть решение →

К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие внешние касательные. Определить площадь трапеции, ограниченной этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.  Смотреть решение →

Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны S₁ и S₂, а расстояние между этими сечениями равно d. Найти площадь сечения, параллельного данным и делящего пополам расстояние между ними.  Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α. Определить отношение радиусов кругов вписанного и описанного. Смотреть решение →