Рассматривая процесс нахождения длины окружности, можно заметить, что число, на которое нужно умножить диаметр, чтобы получить длину окружности, не зависит от величины самого диаметра, так что если мы нашли, что длина какой-нибудь окружности равна её диаметру, умноженному на некоторое число,... Читать далее →

В основании прямой призмы лежит трапеция, вписанная в полукруг радиуса R так, что большее основание ее совпадает с диаметром, а меньшее стягивает дугу, равную 2α. Определить объем призмы, если диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, наклонена к основанию под углом α. Смотреть решение →

Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А₁, В₁, С₁, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат на одной прямой.  Смотреть решение →

На окружности даны две неподвижные точки А и В и подвижная точка M. На продолжении отрезка AM вне окружности откладывается отрезок MN=MB. Найти геометрическое место точек N. Смотреть решение →

На сторонах AB и АС треугольника ABC отложено в противоположных направлениях два равных отрезка BD = СЕ. Доказать, что отрезок DE делится стороной BC в отношении, обратном отношению сторон AB и АС. Смотреть решение →

Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Определить длину второй секущей. Смотреть решение →

При каких целых значениях n функция

cos nx sin ⁵/_n х

имеет период 3π *)?

*) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.

 Смотреть решение →

В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен \(16\pi \sqrt2\), а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен 2√2. Найдите диагональ призмы. Смотреть решение →

Доказать, что если разделить хорду окружности на три равные части и соединить с центром окружности концы хорды и точки деления, то соответствующий центральный угол разделится на три части, одна из которых больше двух других. Смотреть решение →

Разделить отрезок в данном отношении. Пусть требуется разделить отрезок АВ (рис.) на две части так, чтобы они относились, как 4 и 5. Смотреть решение →

Через вершину прямого кругового конуса проведено сечение максимальной площади. Известно, что площадь этого сечения в два раза больше площади осевого сечения. Найти угол при вершине осевого сечения конуса. Смотреть решение →