Равные и неравные отрезки Отрезки называются равными, если они могут быть наложены один на другой так, что концы их совпадут. Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой... Читать далее →

Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой. Смотреть решение →

В треугольнике АВС АL – биссектриса угла А.Через точку А проводят прямую перпендикулярно АL и из вершины В опускают на эту прямую перпендикуляр ВВ₁. Доказать, что периметр треугольника ВВ₁С больше периметра треугольника АВС. Смотреть решение →

В сферу S радиуса R вписано восемь равных сфер, каждая из которых касается трех соседних сфер и сферы S. Найти радиус вписанных сфер, зная, что их центры лежат в вершинах некоторого куба.  Смотреть решение →

На большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить длину этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.  Смотреть решение →

В шар вписан конус, объем которого равен ¹/₄ объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна Н. Смотреть решение →

Два шара касаются между собой и граней двугранного угла, величина которого α. Пусть А в В - две точки касания этих шаров с гранями (А и В принадлежат разным шарам и разным граням). В каком отношении отрезок АВ делится точками пересечения с поверхностями этих шаров? Смотреть решение →

В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом α. Смотреть решение →

Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого равны разности соседних сторон параллелограмма.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды. Смотреть решение →

Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и 6, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер? Смотреть решение →