Смешанным произведением трех векторов а, b, с называется число, равное скалярному произведению вектора [а; b] на вектор с. Смешанное произведение векторов a, b и с обозначается (а; b; с). Следовательно, (а; b;с) = | [а; b] | • |с| • cos ψ,... Читать далее →

Определить угол прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга, как 5:2. Смотреть решение →

Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (ABCD - основание) сторона основания равна a, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α. Плоскость, параллельная диагонали основания АС и боковому ребру BS, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность. Определить радиус этой окружности. Смотреть решение →

Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник АВС со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно 10√3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Определить радиус цилиндра. Смотреть решение →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью равен α. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и середину оси, другое делит ось в отношении 1:3. Зная, что площадь первого сечения равна S, найти площадь второго  Смотреть решение →

Прямая линия — касательная к боковой поверхности конуса — составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол θ. Какой угол φ составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом α? Смотреть решение →

Из точки О, лежащей в основании ABC треугольной пирамиды SABC, проведены прямые ОА', ОВ' и ОС', соответственно параллельные ребрам SA, SB, SC, до пересечения их соответственно с гранями SBC, SCA, SAB в точках А', В', С'. Доказать, что

^OA'/_SA + ^OB'/_SB+ ^OC'/_SC= 1 Смотреть решение →

Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна H, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углами αи β. Найти ее боковую поверхность. Смотреть решение →

Доказать, что если сумма

а₁ cos (α₁ + х) + а₂ cos (α₂ + х) + ... + а_n cos (α_n + x)

при x = 0 и x = x₁ =/= kπ (k - целое) обращается в нуль, то она равна нулю при всяком х Смотреть решение →