Пусть нам нужно узнать, чему равняется площадь трапеции АВСD (черт. 278). Проведём в ней диагональ DВ. Трапеция разобьётся на два треугольника АDВ и DСВ. Обозначим высоту трапеции и треугольников через h, а площади треугольников АDВ и DВС - через S1,... Читать далее →

Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.  Смотреть решение →

В параллелепипеде все его грани — равные ромбы со сторонами а и острыми углами α. Определить объем этого параллелепипеда. Смотреть решение →

Вычислить угол между прямой и плоскостью: $$ а) \; \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-7}{-1} \;\;и\;\; 4x+y+z+13=0 \\ б) \begin{cases} x = 2-3t\\y=1-t\\z=-4t\end{cases} \;\;и \;\;x+2y-z+1=0 \\ в) \begin{cases} 3x-2y+z+1=0\\4x-3y+4z=0\end{cases} \;\;и \;\;2x-y-2z+5=0 $$ Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC. Радиус окружности, описанной около него, равен R, катет АС стягивает дугу, равную 2β. Через диагональ боковой грани, проходящей через другой катет ВС, проведена плоскость перпендикулярно к этой грани, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды. Смотреть решение →

В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами. Смотреть решение →

Три окружности радиусов r, r₁ и R касаются попарно внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей. Смотреть решение →

Как расположены прямые:
а) х - у = 0; б) х + у = 0; в) 3х- 12 = 0; г) 5y + 20 = 0; д) 3х + 4у = 0?
Построить эти прямые. Смотреть решение →

Среди следующих пар прямых и плоскостей указать параллельные или перпендикулярные; в случае пересечения прямой и плоскости найти точку пересечения: $$ а) \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{-5} \;\;и\;\; 7x-2y+3z-1=0 \\ б) \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4} \;\;и\;\;x-y+z-3=0 \\ в) \begin{cases}6x+3y-2z-21=0\\6x+y+2z-31=0\end{cases} \;\;и\;\; 2x-6y-3z-91=0 $$ Смотреть решение →

В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна ^π/₂. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Смотреть решение →

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →