Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником. Отрезки этой ломаной линии называются сторонами многоугольника. АВ, ВС, CD, DE, ЕА (рис. 1) — стороны многоугольника ABCDE. Сумма всех сторон многоугольника называется его периметром.  Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону... Читать далее →

В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы. Смотреть решение →

В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать, что α < 30°.) Смотреть решение →

Доказать, что если сумма

а₁ cos (α₁ + х) + а₂ cos (α₂ + х) + ... + а_n cos (α_n + x)

при x = 0 и x = x₁ =/= kπ (k - целое) обращается в нуль, то она равна нулю при всяком х Смотреть решение →

В сектор радиуса R с центральным углом αвписан круг. Определить его радиус. Смотреть решение →

Определить углы, составляемые с основанием боковым ребром и боковой гранью правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковые грани — равносторонние треугольники. Смотреть решение →

Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 24π. Найдите радиус цилиндра, если диагональ боковой грани призмы равна 5. Смотреть решение →

Через одну и ту же точку окружности проведены две хорды, равные а и b. Если соединить их концы, то получится треугольник площади S. Определить радиус окружности. Смотреть решение →

На стороне AB параллелограмма ABCD, как на диаметре, построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма. Смотреть решение →

Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике OAB₁ медиана стороны AB₁ является высотой для \(\Delta\)OA₁В (аналогично медиана стороны А₁В в \(\Delta\)OA₁В является высотой для \(\Delta\)OAB₁).  Смотреть решение →

Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и 6, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер? Смотреть решение →