Теория
Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию х • а + у • b = 0, (1) то х = 0 и у = 0. В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1)... Читать далее →


Задачи
  • На плоское зеркало под углом α падает луч света. Зеркало поворачивается на угол β вокруг проекции луча на зеркало. На какой угол отклонится отраженный луч? Смотреть решение →
  • Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной m, наклонено к плоскости основания под углом α. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Решить уравнение sin2 2х + sin2 x = 1 Смотреть решение →
  • Через данную точку O пространства провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости P Смотреть решение →
  • Найти третью сторону треугольника, если даны две стороны его а и b и известно, что медианы, соответствующие этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
    При каких условиях такой треугольник существует? Смотреть решение →
  • В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины ребер АВ, ВС и ВВ1 равны соответственно 2a, a и a, точка Е - середина ребра ВС. Вершины М и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой С1Е, вершины Р и Q - на прямой, проходящей через точку B1 и пересекающей прямую AD в точке F. Найти: а) длину отрезка DF; б) расстояние между серединами отрезков MN и PQ. Смотреть решение →
  • В прямой угол с вершиной А вписана окружность; В и С — точки касания. Доказать, что если к данной окружности провести касательную, пересекающую стороны АВ и АС в точках М и N, то она отсечет на этих сторонах отрезки MB и NC, сумма длин которых больше, чем 1/3(АВ + АС), и меньше, чем 1/2 (АВ + АС)  Смотреть решение →
  • Пирамида имеет в основании правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания, а противоположное ему ребро MD наклонено к плоскости основания под углом α. Определить углы наклона боковых граней к плоскости основания. Смотреть решение →
  • Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку. Смотреть решение →
  • В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41. Смотреть решение →