Пусть l - произвольная прямая (рис. 102). Обозначим через p расстояние от начала координат до прямой l, а через φ - угол между осью Ох и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитывать от оси Оx в направлении, противоположном движению... Читать далее →

В треугольнике из основания каждой высоты опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказать, что: 1) основания этих перпендикуляров являются вершинами шестиугольника, три из сторон которого параллельны сторонам треугольника; 2) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.  Смотреть решение →

Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.  Смотреть решение →

К кругу радиуса R проведены из одной точки две касательные, составляющие между собой угол 2α. Определить площадь между этими касательными и дугой круга. Смотреть решение →

Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку. Смотреть решение →

Около круга описана трапеция с углами при основании α и β. Найти отношение площади трапеции к площади круга. Смотреть решение →

Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, равно 21 cм. Определить расстояние центров от точки, в которой прямая центров пересекается с общей касательной окружностей.  Смотреть решение →

Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды, если даны сторона а основания первоначальной пирамиды и двугранный угол αпри основании. Смотреть решение →

Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом ^α/₂, Определить площадь этого сечения. Смотреть решение →

Доказать, что геометрическое место точек М, расстояния которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении

^p/_q=/= 1 есть окружность с центром на прямой АВ. Выразить диаметр этой окружности через длину a отрезка АВ. Исследовать также случай

^p/_q= 1 Смотреть решение →

В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым утлом α, и наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы. Смотреть решение →