Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним. Дано: ∠BCD — внешний угол треугольника ABC. Надо доказать, что ∠BCD > ∠B и ∠BCD > ∠A. Доказательство. Для доказательства выполним в первую очередь построение, в результате которого внешний... Читать далее →

В треугольную пирамиду, в основании которой — правильный треугольник со стороной а, вписан цилиндр так, что нижнее его основание находится на основании пирамиды, а верхнее касается всех боковых граней. Определить объем цилиндра и объем пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через верхнее основание цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна ^a/₂, одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а боковая грань наклонена к основанию под углом α (определить, при каких значениях а задача возможна). Смотреть решение →

Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство

0,4 < ^r/ _h < 0,5,

где r - радиус вписанного круга, h - высота, опущенная на гипотенузу. Смотреть решение →

Стороны квадрата разделены в отношении m к n, причем к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Последовательные точки деления соединены прямыми. Найти площадь полученного четырехугольника, если сторона данного квадрата равна а.  Смотреть решение →

В прямоугольной трапеции, высота которой равна h , на стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диаметре, описана окружность, и оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты — основания трапеции. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найти объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол между двумя соседними боковыми ребрами равен α. Смотреть решение →

В пространстве даны точки А, В, С и D, причем |АВ| = |ВС| = |CD|, ∠АВС = ∠BCD = ∠CDA = α. Найти угол между прямыми АС и BD. Смотреть решение →

Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β. Определить радиус круга, если площадь трапеции Q. Смотреть решение →

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, а сумма длин его высоты и образующей равна m. Найти объем и полную поверхность конуса. Смотреть решение →

Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и bот его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла. Смотреть решение →

Пирамида имеет в основании равнобедренный треугольник; боковые стороны этого основания равны а и образуют угол в 120°. Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину тупого угла, перпендикулярно к плоскости основания, а остальные два наклонены к ней под углом α. Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через наибольшую сторону основания пирамиды и делит пополам ребро, перпендикулярное к основанию. Смотреть решение →