Теория
Теорема 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность. Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно... Читать далее →


Задачи
  • Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β. Определить радиус круга, если площадь трапеции Q. Смотреть решение →
  • Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →
  • Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями, но разными высотами, сложены этими основаниями, и около получившегося многогранника описан шар радиуса R. Найти высоты пирамид, зная, что сторона основания равна а. При каком соотношении между а и R задача разрешима? Смотреть решение →
  • Сторона основания АВС правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна a. Точки М и N являются соответственно серединами ребер А1В1 и АА1. Проекция отрезка ВМ на прямую C1N равна \(\frac{a}{2\sqrt5}\). Определить высоту призмы. Смотреть решение →
  • Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом α. Ребро АА1 равно b и образует с ребрами АВ и AD угол φ. Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →
  • Построение окружности по трём данным точкам. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность. Смотреть решение →
  • В плоскости Р дан равнобедренный треугольник АВС (|АВ| = |ВС| = l, |АС| = 2а). Шар радиуса r касается плоскости Р в точке В. Две скрещивающиеся прямые проходят через точки А и С и касаются шара. Угол между каждой из этих прямых и плоскостью Р равен α. Найти расстояние между этими прямыми. Смотреть решение →
  • Доказать, что в любом треугольнике ABC расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника BC вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины А. Смотреть решение →
  • Через середины двух параллельных ребер куба, не лежащих на одной грани, проведена прямая, и куб повернут вокруг нее на 90°. Определить объем общей части исходного куба и повернутого, зная, что ребро куба имеет длину а.  Смотреть решение →
  • В параллелограмме даны острый угол α и расстояния m и p от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определить диагонали и площадь параллелограмма.  Смотреть решение →