Теория
Найдем расстояние d от произвольной точки М1(х1; у1; z1) до плоскости q, заданной своим нормированным уравнением х cos α + у cos β + z cos γ - р = 0 Это расстояние равно длине отрезка М1К, где К - проекция... Читать далее →


Задачи
  • Определить объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего основания равна b, а острый угол боковой грани равен α. Смотреть решение →
  • Треугольник ABC вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолженной стороной ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС = 5 см, AD = 5√6см. Смотреть решение →
  • Определить угол между осью и образующей такого конуса, у которого полная поверхность в n раз больше площади осевого сечения. Смотреть решение →
  • Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так, что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого и двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим построением, доказать, что сумма дробей

    \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{n(n + 1)}\)

    при безграничном возрастании n стремится к 1, т. е.

    \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +...+ \frac{1}{n(n + 1)} = 1\)

     Смотреть решение →
  • Ромб с большей диагональю d и острым углом γвращается вокруг оси, проходящей вне его через вершину ромба и перпендикулярной к большей диагонали его. Определить объем тела вращения. Смотреть решение →
  • Определить объем правильного восьмиугольника (октаэдра) с ребром а и двугранные углы при его ребрах. Смотреть решение →
  • Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, примыкающих к основаниям, равны S1 и S2. Смотреть решение →
  • Вычислить угол между прямой и плоскостью: $$ а) \; \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-7}{-1} \;\;и\;\; 4x+y+z+13=0 \\ б) \begin{cases} x = 2-3t\\y=1-t\\z=-4t\end{cases} \;\;и \;\;x+2y-z+1=0 \\ в) \begin{cases} 3x-2y+z+1=0\\4x-3y+4z=0\end{cases} \;\;и \;\;2x-y-2z+5=0 $$ Смотреть решение →
  • Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную точку С. Разобрать случаи, когда данная точка находится вне шара, на поверхности шара или внутри шара. Смотреть решение →
  • Внутрь правильного n-угольника со стороной а вписано п равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух других кругов, Найти площадь «звездочки», образующейся в центре многоугольника. Смотреть решение →