1. Объём прямой треугольной призмы.Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306). Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим... Читать далее →

Через точку Р, лежащую на данной окружности, и точку Q, лежащую на данной прямой, проводится произвольная окружность, пересекающая второй раз данную окружность в точке R, данную прямую-в точке S. Доказать, что получаемые этим построением всевозможные прямые RS пересекаются в одной точке, лежащей на данной окружности. Смотреть решение →

Все три плоских угла некоторого трехгранного угла являются острыми. Один из них равен α; двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны, соответственно, β и γ. Найти два других плоских угла.  Смотреть решение →

В тетраэдре три двугранных угла прямые. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, равен a, а другой b (b > a). Найти длину наибольшего ребра тетраэдра. Смотреть решение →

Объем конуса V. Высота его разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем средней части. Смотреть решение →

Зная хорды двух дуг круга радиуса R, найти хорду дуги, равной сумме этих дуг или их разности. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (ABCD - основание) сторона основания равна a, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α. Плоскость, параллельная диагонали основания АС и боковому ребру BS, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность. Определить радиус этой окружности. Смотреть решение →

Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку. Смотреть решение →

Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Смотреть решение →

Треугольник ABC разбит на три равновеликие фигуры прямыми, параллельными стороне АС. Вычислить, на какие части разбили эти прямые сторону АВ, равную а. Смотреть решение →

Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них описать полукруг внутри данного полукруга, то площадь, заключенная между тремя полуокружностями, будет равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра, восставленного внутри исходного полукруга из точки деления его диаметра.  Смотреть решение →