Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности |CM| = R (1) Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с... Читать далее →

В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41. Смотреть решение →

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом α. Ребро АА₁ равно b и образует с ребрами АВ и AD угол φ. Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

В прямоугольной трапеции, высота которой равна h , на стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диаметре, описана окружность, и оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты — основания трапеции. Смотреть решение →

Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так, что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого и двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим построением, доказать, что сумма дробей

\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{n(n + 1)}\)

при безграничном возрастании n стремится к 1, т. е.

\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +...+ \frac{1}{n(n + 1)} = 1\)

 Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.  Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде с боковыми ребрами AA₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ сторона верхнего основания A₁B₁C₁D₁ равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро В₁С₁ перпендикулярно к плоскости AD₁C, делит пирамиду на две части равного объема. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом ^α/₂, Определить площадь этого сечения. Смотреть решение →

На окружности даны две неподвижные точки А и В и подвижная точка M. На продолжении отрезка AM вне окружности откладывается отрезок MN=MB. Найти геометрическое место точек N. Смотреть решение →

Доказать, что в любом треугольнике ABC расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника BC вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины А. Смотреть решение →