Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d. Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:... Читать далее →

В треугольнике из основания каждой высоты опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказать, что: 1) основания этих перпендикуляров являются вершинами шестиугольника, три из сторон которого параллельны сторонам треугольника; 2) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.  Смотреть решение →

В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d. Смотреть решение →

Треугольник АВС после поворота около вершины А занял положение АВ’С’. Доказать, что если прямая АС делит отрезок ВВ’ пополам, то прямая АВ’ делит пополам отрезок СС’ Смотреть решение →

В прямоугольный треугольник вписан полукруг так, что диаметр его лежит на гипотенузе и центр его делит гипотенузу на отрезки, равные 15 см и 20 см. Определить длину дуги полукруга, заключенной между точками касания его с катетами.  Смотреть решение →

На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА₁ = ВС и ВВ₁ = АС, а по другую СС₁ = АВ. На стороне А₁В₁ треугольника А₁В₁С₁ строится квадрат по ту же сторону от А₁В₁, что и вершина С₁; аналогично строятся квадраты на сторонах В₁С₁ и С₁А₁. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →

Даны две скрещивающиеся прямые, наклоненные друг к другу под углом φ и имеющие общий пересекающий их перпендикуляр PQ = h. На этих прямых даны две точки А и В, из которых отрезок PQ виден под углами αи β. Определить длину отрезка АВ. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π. Смотреть решение →

В выпуклом четырехугольнике ABCD угол A равен 90°, а угол C не превосходит 90°. Из вершин B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Известно, что AE = CF. Доказать, что угол C прямой. Смотреть решение →

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом α. Под каким углом к основанию нужно пересечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах? Смотреть решение →

Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и √33 см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое ребро равно 4 см. Определить полную поверхность и объем параллелепипеда. Смотреть решение →