Теорема. Биссектриса любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Требуется доказать, что если ∠ABD = ∠DBC, то AD : DC = АВ : ВС. Проведём СЕ || BD до пересечения в точке... Читать далее →

Дан четырехугольник ABCD такой, что \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{AB}\).
Доказать, что ABCD - параллелограмм. Смотреть решение →

Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20π. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Смотреть решение →

На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА₁ = ВС и ВВ₁ = АС, а по другую СС₁ = АВ. На стороне А₁В₁ треугольника А₁В₁С₁ строится квадрат по ту же сторону от А₁В₁, что и вершина С₁; аналогично строятся квадраты на сторонах В₁С₁ и С₁А₁. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →

Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен √3, а высота пирамиды равна 1 Смотреть решение →

В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной a, ребро равно b. Найти объем пирамиды, если известно, что боковые грани пирамиды равновелики. Смотреть решение →

В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым утлом α, и наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы. Смотреть решение →

На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки СМ и CN. Определить длину этих отрезков, зная периметр 2Р треугольника ABC, его основание АВ = 2а и периметр 2р четырехугольника AMNB, отсеченного прямой MN.  Смотреть решение →

Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса. Смотреть решение →

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, а прямые AB и CD - в точке K. Прямая KO пересекает стороны BC и AD в точках M и N соответственно, а угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность. Найти отношение площадей треугольника BKC и трапеции ABCD. Смотреть решение →

Внутри треугольника АВС взята точка М и построены параллелограммы АМВМ₁, ВМСВ₂, СМАМ₃. Доказать, что прямые АМ₂, ВМ₃, СМ₁ пересекаются в одной точке. Смотреть решение →