Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты. Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной. 1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды,... Читать далее →

Определить угол прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга, как 5:2. Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике гипотенуза с, а один из острых углов равен α. Определить радиус вписанного круга. Смотреть решение →

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Смотреть решение →

Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга содержит 120°. Смотреть решение →

Выпуклый четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке O, при этом AO = OC = 1, BO = OD = 2. Найти периметр четырехугольника ABCD. Смотреть решение →

Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен φ. Определить плоский угол при вершине пирамиды. Смотреть решение →

Внешняя касательная двух окружностей радиусов 5 см и 2 см в 1¹/₂ раза больше их внутренней касательной. Определить расстояние между центрами этих окружностей.  Смотреть решение →

В параллелограмме даны острый угол α и расстояния m и p от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определить диагонали и площадь параллелограмма.  Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.  Смотреть решение →

Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике OAB₁ медиана стороны AB₁ является высотой для \(\Delta\)OA₁В (аналогично медиана стороны А₁В в \(\Delta\)OA₁В является высотой для \(\Delta\)OAB₁).  Смотреть решение →