Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию х • а + у • b = 0, (1) то х = 0 и у = 0. В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1)... Читать далее →

Дан четырехугольник ABCD такой, что \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{AB}\).
Доказать, что ABCD - параллелограмм. Смотреть решение →

Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство

0,4 < ^r/ _h < 0,5,

где r - радиус вписанного круга, h - высота, опущенная на гипотенузу. Смотреть решение →

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ^π/₆. Смотреть решение →

Даны две стороны b и с треугольника и его площадь S = ²/₅ bс. Найти третью сторону а треугольника.  Смотреть решение →

Определить объем в полную поверхность шарового сектора, вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол α. Смотреть решение →

В сферу S радиуса R вписаны восемь сфер меньшего радиуса, каждая из которых касается двух соседних, а все вместе касаются сферы S по окружности большого круга. Затем в пространство между сферами вписана еще одна сфера S₁, которая касается всех восьми сфер меньшего радиуса и сферы S. Найти радиус ρ этой последней сферы.  Смотреть решение →

На плоскости Р лежат три равных шара радиуса R, касающиеся друг друга. Прямой круговой конус расположен так, что его плоскость основания совпадает с Р, а данные шары касаются конуса и лежат вне его. Найти радиус основания конуса, если его высота задана и равна qR.  Смотреть решение →

Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания, и угол α, образованный сечением с основанием. Смотреть решение →

Доказать, что функция cos√x не является периодической (т. е. не существует такого постоянного числа Т =/= 0, чтобы при всех х было cos√x + T = cos√x ) Смотреть решение →

В правильную n-угольную пирамиду со стороной основания а и боковым ребром b вписан шар. Найти его радиус. Смотреть решение →