Угол между двумя векторамиРассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве. Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление... Читать далее →

В пространстве рассматриваются два отрезка АВ и CD, не лежащих в одной плоскости. Пусть MN-отрезок, соединяющий их середины. Доказать, что \( \frac{AB + BC}{2} > MN \) (здесь AD, ВС и MN-длины соответствующих отрезков). Смотреть решение →

Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания, и угол α, образованный сечением с основанием. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через его ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол β. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения. Смотреть решение →

В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и медиана, проведенная к основанию, 13 см. Определить боковые стороны.  Смотреть решение →

Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине осевого сечения равен α. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг конуса. Смотреть решение →

Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ служит равнобочная трапеция ABCD, в которой AD параллельна ВС, |AD|/|ВС| = n, n > 1. Через ребра AA₁ и BC проведены плоскости, параллельные диагонали B₁D; через ребра DD₁ и B₁С₁ проведены плоскости, параллельные диагонали А₁С. Определить отношение объема треугольной пирамиды, ограниченной этими четырьмя плоскостями, к объему призмы. Смотреть решение →

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно l, оно наклонено к плоскости основания под углом β. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боковому ребру ее. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Из точки окружности опущены перпендикуляры на стороны вписанного в нее треугольника. Доказать, что основания перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симсона) Смотреть решение →

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Сечение, делящее угол между боковыми гранями пополам, есть прямоугольный треугольник. Определить объем пирамиды и угол между боковой гранью ее и плоскостью основания. Смотреть решение →

Как расположены прямые:
а) х - у = 0; б) х + у = 0; в) 3х- 12 = 0; г) 5y + 20 = 0; д) 3х + 4у = 0?
Построить эти прямые. Смотреть решение →