Середины сторон правильного n-угольника соединены прямыми, образующими новый правильный n-угольник, вписанный в данный. Найти отношение их площадей.

Правильные одноименные многоугольники подобны; поэтому (рис.) площади их (S₁-площадь вписанного многоугольника, S₂- площадь описанного) относятся как квадраты радиусов

S₁ : S₂ = OD² : OA².

Но из треугольника OAD имеем

^OD/_OA= cos ∠DOA = cos ^180°/_n

Ответ: S₁ : S₂ = cos^{2 180°}/_n.