Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А1, В1, С1, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AA1, BB1 и CC1 не лежат на одной прямой.

Пусть A2В2, B2С2, С2A2— средние линии в \(\Delta\)АВС, А3, В3, С3 — середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 .


Точки А3, В3, С3 лежат на средних линиях \(\Delta\)АВС и притом не на концах этих линий, так как, в противном случае, по крайней мере одна из точек A1, B1, С1 совпала бы с вершиной \(\Delta\)АВС.

Так как всякая прямая, не проходящая через вершины треугольника A2В2С2, не пересекает одновременно все три его стороны, то точки А3, В3, С3 не лежат на одной прямой.





Похожие примеры: