Рассмотрим окружность К' радиуса r', вписанную в квадрат, и проведем к ней касательные А'В' || АВ, В'С' || ВС.

Ясно, что $\Delta$А'В'С' лежит внутри $\Delta$ABC, и поэтому А'С' < АС.

Так как

$\Delta$А'В'С' ~ $\Delta$ABC,

то $\frac{r''}{r} = \frac{А'С'}{AC} < 1$, откуда х = 2r' < 2r.

2) Рассмотрим окружность К" радиуса r", описанную около квадрата, и проведем к ней касательные А"В" || АВ, В"С'' || ВС и А"C'' || АС (рис. 77).

Pис. 77

Ясно, что $\Delta$ABC лежит внутри $\Delta$ А"В"С" и поэтому А"С'' > АС. Так как

$\Delta$ А"В"С'' ~ $\Delta$ ABC,

то $\frac{r"}{r} = \frac{А"С"}{AC} > 1$, откуда x = √2r" > √2r.