В основании пирамиды ABCDE лежит параллелограмм ABCD. Ни одна из боковых граней не является тупоугольным треугольником. На ребре DC существует такая точка М, что прямая ЕМ перпендикулярна ВС. Кроме того, диагональ основания АС и боковые ребра ED и ЕВ связаны соотношениями: \(|AC|\geq\frac{5}{4}|ЕВ|\geq\frac{5}{3}|ED|\).
Через вершину В и середину одного из боковых ребер проведено сечение, представляющее собой равнобочную трапецию. Найти отношение площади сечения и площади основания пирамиды.
Сначала докажем, что ABCD - прямоугольник и плоскость DEC перпендикулярна плоскости ABCD. Для этого проведем через Е сечение, перпендикулярное ВС. Это сечение должно пересечь основание по прямой, проходящей через М и пересекающей отрезки ВС и AD (возможно, в их концах). Далее, провести через В сечение, являющееся равнобочной трапецией, можно лишь при условии, что это сечение содержит ребро АВ, причем |DE| = |ЕС|, |АЕ| = |ЕВ|. Следовательно,
$$ \frac{3}{5}|AC|\geq|ED| = |EC|,\;\;\;\frac{4}{5}|AC|\geq|EB| = |AE| $$т. е. \(|АС|^2\geq |СЕ|^2 + |АЕ|^2\;\;\text{и}\;\;\Delta АЕС\) - не остроугольный.
Но ∠АЕС не может быть тупым, так как тогда тупым был бы ∠DEC.
Таким образом, \(|АС| = \frac{5}{4}|АЕ| = \frac{5}{3}|ЕС|\).
Ответ: \(\frac{3}{8}\sqrt{\frac{65}{14}}\)
Похожие примеры: