В пирамиде SABC прямая, пересекающая ребра АС и BS и перпендикулярная к ним, проходит через середину ребра BS. Грань ASB равновелика грани BSC, а площадь грани ASC в два раза больше площади грани BSC. Внутри пирамиды есть точка М, сумма расстояний от которой до вершин В и S равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найти расстояние от точки М до вершины В, если |АС| = √6, |ВS| = 1.
Из того, что прямая, перпендикулярная ребрам АС и BS, проходит через середину BS, следует, что грани АСВ и ACS равновелики.
Пусть SASB = SBSC = Q, тогда SАСВ = SACS = 2Q. Обозначим через A1 B1, C1, S1 проекции M на грани BCS, ACS, ABS, ABC соответственно, hA, hB, hC, hS - высоты, опущенные на эти грани, V - объем пирамиды. Тогда будем иметь
$$ |MA_1|+2|MB_1|+|MC_1|+2|MS_1|=\frac{3V}{Q} $$Но, по условию, |МВ| + |MS| = |МА1| + |MВ1| + |MC1| + |MS1|. Из двух последних равенств следует:
$$ |MB|+|MB_1|+|MS|+|MS_1|=\frac{3V}{Q} $$Но
$$ V=\frac{1}{3}h_S\cdot2Q = \frac{1}{3}h_B\cdot2Q = \frac{Q}{3}(h_B +h_S) $$Следовательно, |MB| + |МВ1| + |MS| + |MS1| = hB + hS
С другой стороны, |МВ| + |MB1| \(\geq\) hB, |MS| + |МS1| \(\geq\) hS. Значит, |МВ| + |MВ1| = hB, |MS| + |MS1| = hS, и высоты, опущенные из В и S, пересекаются в точке М, а ребра АС и BS перпендикулярны.
Из условий задачи следует также, что общий перпендикуляр к АС и BS делит пополам также и АС. Пусть F - середина АС, Е - середина BS. Обозначим |FE| = х. Тогда
$$ Q=S_{ASB}=\frac{1}{2}|SB|\cdot|AE|=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+\frac{3}{2}}, \\ 2Q=S_{ACB}=\frac{\sqrt6}{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{4}} $$Получим уравнение
$$ \frac{\sqrt6}{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{4}} = \sqrt{x^2+\frac{3}{2}} $$откуда \(x=\frac{3}{2}\)
Рассмотрев равнобедренный треугольник BFS, в котором |BS| = 1, |BF| = |FS|, высота |FЕ| = 3/2, М - точка пересечения высот, найдем |ВМ| = |SM| = \(\frac{\sqrt{10}}{6}\).