Пусть |ЕА| = x, площадь ΔЕМА будет наибольшей, если |EH| = |HA| = \(\frac{\sqrt2}{2}\), и равна при этом \(\frac{x}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x^2}{4}}\).
Расстояние от B до плоскости ЕАН не больше чем |AВ| = 1. Поскольку

$$ S_{AEB} = S_{EBC}, \;\;\frac{1}{12}=\frac{1}{2}V_{ABCEH} = V_{ABEH} \leq \frac{x}{12}\sqrt{2-x^2} =\\= \frac{1}{12}\sqrt{x^2(2-x^2)}\leq\frac{1}{24}[x^2+(2-x^2)] = \frac{1}{12} $$

Таким образом, x = 1, и ребро AB пепдикулярно плоскости ЕАН. ABСЕ - квадрат со стороной 1.

Рассмотрим две треугольные призматические поверхности: первая образована плоскостями АВСЕ, АНЕ и ВСH; вторая - АВСЕ, ЕСH и ABH. Очевидно, радиус наибольшего шара, помещающегося в пирамиде АВСЕН, равен радиусу наименьшего из шаров, вписанных в эти призмы. Радиус же шара, вписанного в каждую из этих призм, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение. Перпендикулярное сечение первой призмы представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1/2, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен

$$ \frac{3-\sqrt5}{4} $$

Перпендикулярное сечение второй призмы есть треугольник АНЕ, радиус окружности, вписанной в него, равен

$$ \frac{\sqrt2 -1}{2}\gt\frac{3-\sqrt5}{4} $$

Ответ: \(\frac{3-\sqrt5}{4}\)