Продолжим боковые грани до пересечения. При этом мы получим две подобные пирамиды, основаниями которых являются большее и меньшее основания данной усеченной пирамиды. Пусть a - сторона большего основания усеченной пирамиды, α - двугранный угол при этом основании. Можно найти: высоту большей пирамиды - \(h=\frac{a\sqrt3}{6}tg\alpha\), радиус вписанного в нее шара - \(r=\frac{a\sqrt3}{6}tg\frac{\alpha}{2}\), высоту меньшей пирамиды - \(h_1 = h - 2r = \frac{a\sqrt3}{6}(tg\alpha - 2tg\frac{\alpha}{2})\), сторону меньшего основания - \(a_1=\frac{h_1}{h}a = a\frac{tg\alpha - 2tg\frac{\alpha}{2}}{tg\alpha}\), боковое ребро большей пирамиды - \(l = \frac{a\sqrt3}{6}\sqrt{tg^2\alpha +4}\), боковое ребро меньшей пирамиды - \(l_1=l\frac{h_1}{h}\); после этого воспользуемся условием существования шара, касающегося всех ребер усеченной пирамиды. Это условие эквивалентно существованию окружности, вписанной в боковую грань, т. е. должно выполняться равенство

$$ 2(l - l_1) = а + а_1 $$

Выражая l, l₁, а₁, через а и α, получим уравнение

$$ \frac{\sqrt3}{3}\sqrt{tg^2\alpha +4}\cdot tg\frac{\alpha}{2} = tg\alpha - tg\frac{\alpha}{2} $$

Отсюда найдем \(tg\frac{\alpha}{2} = \sqrt3 - \sqrt2\)

Ответ: 2arctg(√3 - √2)