Обозначим сторону основания и высоту призмы через a, |КЕ| = х.
Из условия задачи следует, что проекция КМ на плоскость основания параллельна биссектрисе угла С треугольника АВС, т. е.

| В₁М | = 2x, | МС₁ | = а - 2х.

Пусть L₁ - проекции L на АС. Из условия задачи можно также получить, что $$ |LL_1| = |AL_1|\frac{\sqrt3}{2},\;\; |L_1C | = а - 2х $$

Следовательно, величина | AL₁| может принимать значения:

1. |AL₁| = а - |МС₁| = a - (а - 2х) = 2x;
2. |AL₁| = а + (a - 2х) = 2(а - х).

В первом случае | KL |² = | КL₁ |² + | LL₁ |² = а² + 10x² - 4ах;
во втором - | KL |² = 6(а - х)².

В обоих случаях | КМ |² = Зx² + а².

Решая соответственно две системы уравнений, получим для a два значения

$$ a_1 = \frac{7}{\sqrt{97}}, \;\;\; a_2=\frac{\sqrt6+\sqrt{14}}{8} $$

^{Ответ: \(\frac{7}{\sqrt{97}}, \;\;\; \frac{\sqrt6+\sqrt{14}}{8}\)}