Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник АВС со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно 10√3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Определить радиус цилиндра.
Можно доказать, что ось цилиндра должна проходить через середину ребра BD и принадлежать плоскости BDL, где L - середина АС. Пусть ось цилиндра образует с BD острый угол α. Спроектируем пирамиду на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, получим четырехугольник A1B1C1D1, в котором |А1С1| = |АС| = = 12. Диагонали А1С1 и B1D1 перпендикулярны, точка пересечения диагоналей F делит А1С1 пополам, а диагональ D1B1 делится точкой F на отрезки \(6\sqrt3cos\alpha\ \;\;\text{и}\;\;10\sqrt3sin\alpha - 6\sqrt3cos\alpha\). Из условия |A1F| * |FC1| = |B1F| - |FD1| получим для α уравнение
$$ sin^2\alpha - 5sin\alpha cos\alpha + 4cos^2\alpha = 0 $$откуда найдем tgα1 = 1, tgα2 = 4. Но |B1D1| = \(10\sqrt3 sin\alpha\) и равняется диаметру основания цилиндра. Получим два значения для радиуса основания цилиндра: $$ \frac{5\sqrt6}{2}\;\;\text{и}\;\;\frac{20\sqrt3}{\sqrt{17}} $$