Обозначим через A₁ и В₁ две других точки касания, R и r - радиусы шаров. В трапеции АА₁ВВ₁ найдем основания: |АА₁| = \(2Rcos\frac{\alpha}{2}\), |BB₁| = \(2r cos\frac{\alpha}{2}\) и боковые стороны |АВ₁| = |A₁B| = \(2\sqrt{Rr}\), после чего определим диагонали |АВ| = |А₁В₁| = \(2\sqrt{Rr(1+cos^2\frac{\alpha}{2})}\). Если шар, проходящий через А и A₁ пересекает АВ в точке К, то |А₁В|² = |ВК| • |ВА|, откуда

$$ |BK|=\frac{2\sqrt{Rr}}{\sqrt{1+cos^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{|AB|}{1+cos^2\frac{\alpha}{2}}, \\ |AK|=\frac{|AB|cos^2\frac{\alpha}{2}}{1+cos^2\frac{\alpha}{2}} $$

Так же находятся другие части, на которые разделен отрезок АВ.

Ответ: Отрезок АВ разделен в отношении

$$ cos^2\frac{\alpha}{2} : sin^2\frac{\alpha}{2} : cos^2\frac{\alpha}{2} $$