Обозначим через A₁ и В₁ две других точки касания, R и r - радиусы шаров. В трапеции АА₁ВВ₁ найдем основания: |АА₁| = $2Rcos\frac{\alpha}{2}$, |BB₁| = $2r cos\frac{\alpha}{2}$ и боковые стороны |АВ₁| = |A₁B| = $2\sqrt{Rr}$, после чего определим диагонали |АВ| = |А₁В₁| = $2\sqrt{Rr(1+cos^2\frac{\alpha}{2})}$. Если шар, проходящий через А и A₁ пересекает АВ в точке К, то |А₁В|² = |ВК| • |ВА|, откуда

$$|BK|=\frac{2\sqrt{Rr}}{\sqrt{1+cos^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{|AB|}{1+cos^2\frac{\alpha}{2}}, \\ |AK|=\frac{|AB|cos^2\frac{\alpha}{2}}{1+cos^2\frac{\alpha}{2}}$$

Так же находятся другие части, на которые разделен отрезок АВ.

Ответ: Отрезок АВ разделен в отношении

$$cos^2\frac{\alpha}{2} : sin^2\frac{\alpha}{2} : cos^2\frac{\alpha}{2}$$