Пусть | SA | = l, и легко выражается через a, α и β. Если \(l \leq a\), то \(\Delta ASC = \Delta ASB\).

Построим \(\Delta ASC\): возьмем угол с вершиной S величины α, отложим на одной стороне | SA | = l, построим окружность радиуса а с центром в А; поскольку \(а \geq l\), эта окружность пересечет вторую сторону угла в одной точке.

Если же l > а, то возможны два случая: \(\Delta ASC = \Delta ASB\) и ∠ACS = α + β.

Отрезок l будет меньше, равен или больше а в зависимости от того, будет ли 2α + β больше, равно или меньше π.

Кроме того, в обоих случаях плоские углы, прилежащие к вершине А, должны удовлетворять условиям, при которых возможен трехгранный угол.

Ответ. Если \(\beta \gt \frac{\pi}{6},\;\;\;2\alpha +\beta\geq\pi\), то

$$ V=\frac{a^3sin(\alpha +\beta)}{12sin\alpha}\sqrt{1 - 2cos{2\beta}} $$ если \(\beta \leq \frac{\pi}{6},\;\;\; \alpha \lt\frac{\pi}{3},\;\;\;\alpha+\beta \gt \frac{\pi}{3}\), то $$ V=\frac{a^3sin(\alpha +\beta)}{12sin\alpha}\sqrt{3sin^2\beta - [2cos(2\alpha+\beta)+ cos\beta]^2} $$

если \(\beta \gt \frac{\pi}{6},\;\;\;\alpha \lt\frac{\pi}{3},\;\;\; \frac{\pi}{3} \lt \alpha+\beta \lt \frac{2\pi}{3}\), то возможны оба приведенных выше ответа.