Пусть высота призмы равна x. Возьмем на продолжении ребра B₁В точку К так, что \(|ВК| = \frac{3}{2}х,\;\;|В_1К| = \frac{5}{2}х\). Поскольку KN параллельна ВМ и |KN| = 2|ВМ|, проекция KN на CN вдвое больше проекции ВМ на CN, т. е. она равна \(\frac{a}{\sqrt5}\). В ΔCNK имеем

$$ |CN|=\sqrt{a^2+\frac{x^2}{4}}, \;\;|NK|=\sqrt{a^2+4x^2},\;\;|CK|=\sqrt{a^2+\frac{25}{4}x^2} $$

В зависимости от того, острый или тупой угол ∠C₁NK будем иметь два уравнения:

$$ a^2+\frac{25}{4}x^2=(a^2+\frac{x^2}{4})+(a^2+4x^2)-2\sqrt{a^2+\frac{x^2}{4}}\cdot\frac{a}{\sqrt5} $$ или $$ a^2+\frac{25}{4}x^2=(a^2+\frac{x^2}{4})+(a^2+4x^2)+2\sqrt{a^2+\frac{x^2}{4}}\cdot\frac{a}{\sqrt5} $$

Ответ: \(\frac{a}{2\sqrt5}\) или a.