Пусть плоскость, проходящая через В₁С₁, пересекает АВ и DC в точках К и I. (рис.).

По условию, объемы многогранников AKLDA₁B₁C₁D₁ и КВСLВ₁С₁ равны. Применим к ним формулу Симпсона ($V=\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S)$), обозначив |АК| = |DL| = a. Поскольку высоты этих многогранников равны, получим для a уравнение

$$7a+1+4\frac{(a+1)}{2}\cdot\frac{(7+1)}{2} = (7-a)7+4\frac{(7-a)}{2}\cdot\frac{(7+1)}{2}$$

откуда a = 16/5.

Обозначим высоту пирамиды через h. Введем систему координат, взяв ее начало в центре ABCD, оси x и y параллельными АВ и ВС. Точки A, C и D₁ будут иметь координаты $(-\frac{7}{2}, -\frac{7}{2}, 0),\;\;(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}, 0),\;\;(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, h)$

Нетрудно найти уравнение плоскости ACD₁: hx - hy + z = 0.

Плоскость KLC₁B₁ будет иметь уравнение lOhx - 8z + 3h = 0.

Нормальный вектор к первой плоскости n (h, -h, 1), ко второй m (10h, 0, -8). Условие их перпендикулярности даст нам

$$10h^2 - 8 = 0,\;\; h=\frac{2\sqrt5}{5}$$

Объем пирамиды равен $\frac{38\sqrt5}{5}$.