Основанием призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник АВС со стороной a. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной АВ и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины А, В, А1, С1 равен a. Найти объем призмы.
Возможны два случая:
- Боковыми сторонами трапеции являются проекции ребер АВ и В1С1. Можно доказать, что в этом случае центр сферы находится в точке С. Объем призмы будет равен За3/8.
- Боковыми сторонами трапеции являются проекции ребер АВ и А1С1. В этом случае центр сферы проектируется в центр окружности, описанной около трапеции АВС’1А’1, высота трапеции равна \(\frac{a\sqrt{5}}{3}\), объем призмы равен \(\frac{a^3\sqrt{5}}{4}\).
Ответ: \(\frac{3a^3}{8}\) или \(\frac{a^3\sqrt5}{4}\).
Похожие примеры: