Точка D - середина ребра А1С1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 Правильная треугольная пирамида SMNP расположена так, что плоскость ее основания MNP совпадает с плоскостью АВС, вершина М лежит на продолжении АС, причем |СМ| = 1/2|АС|, ребро SN проходит через точку D, а ребро SP пересекает отрезок ВВ1. В каком отношении отрезок ВВ1 делится точкой пересечения?

Спроектируем данные многогранники на плоскость АВС. На рисунке не показаны проекции точек А1, В1 и С1 - они совпали с точками А, В и С; S1 и D1 - проекции точек S и D. Если мы на отрезке PS1 возьмем точку К так, что |РК| = |ND1|, то точка К является проекцией точки в которой ребро PS пересекает плоскость A1B1C1. Таким образом, искомое отношение равно
|KB||BP|=|ND1|−|PB||PB|==(|S1N|−|D1S1|)−(|PS1|−|BS1|)|PS1|−|BS1|=|BS1|−|D1S1||S1M|−|BS1|(1)Следовательно, задача сводится к нахождению отрезков |S1M|, |BS1|, |D1S1|, где S1 - точка, из некоторой стороны ΔBD1M видны под равными углами, ΔВD1М - прямоугольный с катетами |D1M| = 2а, |BD1| = a√3.
Обозначим |S1M| = x, |S1B| = у, |S1D1| = z.
Повернем ΔD1S1M на угол 60° вокруг точки D1 (рис., б), ΔD1S1S2 - правильный со стороной z; точки В, S1, S2, M1 - на одной прямой, ∠BD1M1 = 150°. Из ΔBD1M1 найдем х + у + z = а√13. Высота ΔBD1M1, опущенная на сторону ВМ1, равна
a√313 откуда z=2a√13,y+z2=√3a2−3a213=6a√13Теперь легко найти у=5a√13,х=6a√13. Подставляя найденные значения в (1), получим, что искомое отношение, считая от вершины В, равно 3.