Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и 6, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер?

Любая касательная плоскость делит пространство на две части, при этом либо все три сферы расположены в одной части, либо две - в одной, а одна в другой. Очевидно, что, если некоторая плоскость касается сфер, то и плоскость, ей симметричная относительно плоскости, проходящей через центры сфер, также является касательной. Покажем, что не существует плоскости, касающейся данных сфер так, что сферы радиусов 3 и 4 находятся по одну сторону от нее, а сфера радиуса 6 - по другую.

Пусть центры сфер радиусов 3, 4 и 6 находятся в точках А, В и С. Плоскость, касающаяся данных сфер указанным выше образом, разделит стороны АС и ВС в отношениях 1 : 2 и 2 : 3, т. е. пройдет через точки К и L на АС и ВС такие, что |СK| = 22/3, |CL| = 33/5. Нетрудно найти расстояние от С до KL. Оно равно \(33\sqrt3/91 \lt 6\).

Отсюда следует, что через KL нельзя провести плоскость, касающуюся сферы радиуса 6 с центром в С. Можно показать, что все другие касательные плоскости существуют, а всего их будет 6.