Все плоские углы трехгранного угла NKLM (N - вершина) прямые. На грани LNM взята точка Р на расстоянии 2 от вершины N и на расстоянии 1 от ребра MN. Из некоторой точки S, расположенной внутри трехгранного угла NKLM, в точку Р направлен луч света. Луч образует угол π/4 с плоскостью MNK и равные углы с ребрами KN и MN. Луч зеркально отражается от граней угла NKLM сначала в точке Р, затем - в точке Q, затем - в точке R. Найти сумму длин отрезков PQ и QR.
Решение задачи основано на том, что продолжение падающего луча симметрично отраженному лучу относительно той грани, от которой луч отражается. Введем естественным образом систему координат, взяв ее начало в точке N, а в качестве осей x, y и z - ребра NK, NL и NM, обозначим через Q’ и R’ последовательные точки пересечения прямой SP с координатными плоскостями, отличными от LNM. Имеем: |PQ| = |PQ’|, |QR| = |Q’R’|.
Точка Р имеет координаты (0, 1, √3). Обозначим через α, β, а углы, образованные лучом SP с осями координат. Из условия следует, что \(\beta = \frac{\pi}{4}\), далее найдем cosα из равенства
\(2cos^2\alpha + cos^2\beta = 1,\;\;\;cos\alpha = \frac{1}{2}\) (α - острый угол).
Следовательно, вектор а (1/2, √2/2, 1/2) параллелен прямой SP. Если А (х, у, z) - произвольная точка на этой прямой, то
$$ \vec{ОА} = \vec{OP} + ta $$или покоординатно
$$ x=\frac{t}{2},\;\;y=1+\frac{\sqrt2}{2}t,\;\;z=\sqrt3+\frac{t}{2} $$Координаты y и z обращаются в нуль при \(t_1 = -\sqrt2\) (это будет точка Q’) и при \(t_2 = -2\sqrt3\) (точка R’). Таким образом, $$ Q’(-\frac{\sqrt2}{2},\;0,\;\sqrt3-\frac{\sqrt2}{2}),\;\;R’(-\sqrt3, 1-\sqrt6, 0),\\ |PQ’|=\sqrt2, \;\;|Q’R’|=2\sqrt3-\sqrt2 $$
Ответ: \(2\sqrt3\).