В правильную треугольную пирамиду SABC с вершиной S и основанием АВС вписан шар радиуса 2; высота пирамиды SK равна 6. Доказать, что существует единственная плоскость, пересекающая ребра основания АВ и ВС в некоторых точках М и N таких, что |MN| = 7, касающаяся шара в точке, удаленной на равные расстояния от точек М и N, и пересекающая продолжение высоты пирамиды SK за точку К в некоторой точке D. Найти длину отрезка SD.
Зная радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, и высоту пирамиды, можно найти сторону основания. Она равна 12, |МК| = |KN| (по условию касательные к шару из точек М и N равны).
Пусть |ВМ| = x, |BN| = y. Найдя |MN| по теореме косинусов из ΔBMN, а |МК| и |NК| - из треугольников ВМК и BNK, получим систему уравнений
$$ \begin{cases}x^2 +y^2 -xy = 49\\x^2-12x=y^2-12y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2 +y^2 -xy = 49\\(x-y)(x+y-12)=0\end{cases} $$Эта система имеет решение х1= y1 = 7. В этом случае расстояние от К до MN равно
$$ 4\sqrt3 - \frac{7\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\lt 2 $$ т. е. плоскость, проходящая через MN и касающаяся шара, в самом деле, пересекает продолжение SK за точку К, $$ |KD|=\frac{12}{13},\;\;|SD|=6\frac{12}{13} $$Второе решение этой системы удовлетворяет условию х + у = 12. Из первого уравнения получим (х + у)2 - 3ху = 49.
xy = 95/3. Отсюда следует, что
$$ S_{MKN}=|S_{BMK} +S_{BNK} -S_{BMN}| =\\ =|x\sqrt3+y\sqrt3-xy\frac{\sqrt3}{4}|=\frac{49\sqrt3}{12} $$Следовательно, высота, опущенная из K на MN, равна \(\frac{7}{6}\sqrt3\gt2\), т.е. в этом случае плоскость, проходящая через MN и касающаяся шара, не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: \(6\frac{12}{13}\)