В правильной призме ABCA1B1C1 длина бокового ребра и высота основания равна a. Через вершину А проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой АВ1, вторая перпендикулярно прямой АС1. Через вершину A1 также проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой А1В, вторая перпендикулярно прямой A1C. Найти объем многогранника, ограниченного этими четырьмя плоскостями и плоскостью BB1C1C.

Проведем через ребро АА1 плоскость, перпендикулярпую плоскости ВСС1B1 (рис.).

М и N - точки пересечения этой плоскости с С1В1 и СВ. Возьмем на MN точку К так, что |NК| = |MN|. По условию AA1MN - квадрат, значит, АК перпендикулярна AM, следовательно АК перпендикулярна плоскости АС1В1, т. е. АК есть прямая, по которой пересекаются плоскости, проходящие через вершину А.

Аналогично для вершины А1 определим точку L. Прямые АК и A1L пересекаются в точке S. Таким образом, наш многогранник представляет собой четырехугольную пирамиду SKPLQ с вершиной S, основание которой находится в плоскости ВВ1C1C. Далее, B1N есть проекция АВ1. Отсюда следует, что плоскость, проходящая через А перпендикулярно АВ1, пересекается с плоскостью ВВ1C1C по прямой, перпендикулярной B1N. Из условия следует, что ΔB1NC1 - правильный. Значит, четырехугольник PLQK, являющийся основанием пирамиды SPLQK, есть ромб, составленный из двух правильных треугольников со стороной |KL| = За.

Ответ: \(\frac{9a^3\sqrt3}{4}\)





Похожие примеры: