Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга.

По условию b — а = с — b, или а + с = 2b. Для вычисления произведения Rr воспользуемся выражениями для площади S треугольника через радиус описанного или вписанного круга и стороны. Известно, что S = ¹/₂bc sin A,

а по теореме синусов sin A = ^a/_2R,

откуда

С другой стороны, S = rp, где р — полупериметр. Приравняв оба выражения, получим:

(1)

В условиях данной задачи

Подставим это значение р в (1), получим:

6 rR = ac