Тема: Окружность, круг
Теория
Задачи
Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка M, отстоящая от центра на 5 см. Через точку M проведена хорда AB = 25 см. Определить длину отрезков, на которые хорда AB делится точкой M. Смотреть решение →Из точки, отстоящей от центра круга на m см, проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно a см. Определить радиус круга.
Смотреть решение →Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Определить длину второй секущей. Смотреть решение →Построение окружности по трём данным точкам. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность. Смотреть решение →В точке А, находящейся на расстоянии а от центра круглого биллиарда радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого можно пренебречь. В какую точку В борта нужно его направить, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку А? Смотреть решение →Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так, что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого и двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим построением, доказать, что сумма дробей
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{n(n + 1)}\)
при безграничном возрастании n стремится к 1, т. е.
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +...+ \frac{1}{n(n + 1)} = 1\)
Смотреть решение →Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника. Смотреть решение →Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника и пересекает четвертую сторону, то сумма этой последней и противоположной стороны больше суммы двух других сторон четырехугольника. Смотреть решение →Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.
Смотреть решение →Окружность радиуса, равного высоте некоторого равнобедренного треугольника, катится по основанию этого треугольника. Доказать, что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной. Будет ли это предложение верно для неравнобедренного треугольника? Смотреть решение →