Тема: Многогранник, шар
Теория
Задачи
Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку. Смотреть решение →Пусть R - радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, r- радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Доказать, что
R/r > √2 + 1
Указание. Выразить R/rчерез tg α/2, где α - двугранный угол между основанием и боковой гранью. Смотреть решение →
Доказать, что при соединении трех вершин правильного тетраэдра с серединой высоты, опущенной из четвертой вершины, получаются три попарно перпендикулярные прямые. Смотреть решение →Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну из его диагоналей. Как должна быть проведена эта плоскость, чтобы площадь сечения получилась наименьшей? Смотреть решение →На плоскости лежат четыре равных шара радиуса R, причем три из них касаются попарно друг друга, а четвертый касается двух из этих трех. На эти шары сверху положены два равных шара меньшего радиуса, касающихся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найти отношение радиусов большого и малого шаров. Смотреть решение →На плоскости лежат три равных шара радиуса R, попарно касающихся друг друга. Четвертый шар касается плоскости и каждого из первых трех шаров. Найти радиус четвертого шара. Смотреть решение →Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трех других. Пятый шар касается каждого из данных шаров внешним образом, шестой — внутренним образом. Найти отношение объема шестого шара V6 к объему пятого V5. Смотреть решение →Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны S1 и S2, а расстояние между этими сечениями равно d. Найти площадь сечения, параллельного данным и делящего пополам расстояние между ними. Смотреть решение →В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →В сферу S радиуса R вписано восемь равных сфер, каждая из которых касается трех соседних сфер и сферы S. Найти радиус вписанных сфер, зная, что их центры лежат в вершинах некоторого куба. Смотреть решение →