В сферу S радиуса R вписаны восемь сфер меньшего радиуса, каждая из которых касается двух соседних, а все вместе касаются сферы S по окружности большого круга. Затем в пространство между сферами вписана еще одна сфера S₁, которая касается всех восьми сфер меньшего радиуса и сферы S. Найти радиус ρ этой последней сферы.

Радиус r каждой из восьми вписанных сфер мы найдем, рассмотрев треугольник АОС в плоскости, проходящей через центры этих сфер и центр О сферы S (рис. а).

Имеем:

Отсюда

Проведя сечение через центр О сферы S, центр О₁ сферы S₁ и центры двух противолежащих сфер радиуса r (рис. б), мы получим из прямоугольного треугольника АОО₁:

АО₁² = AO² + OO₁²

или

(r + ρ )² = ( R - r )² + ( R - ρ )²