Возможны два случая:

1. центр описанной сферы совпадает с центром основания
2. центр описанной сферы находится в точке поверхности вписанной сферы, диаметрально противоположной цептру основания.

Во втором случае, обозначив через R и r радиусы вписанной и описанной сфер, найдем высоту пирамиды 2r + R и сторону основания \(\sqrt{R^2 - 4r^2}\).

Сечение, проходящее через высоту и середину стороны основания пирамиды, есть равнобедренный треугольник с высотой R + 2r, основанием \(\sqrt{3(R^2 - 4r^2)}\) и радиусом вписанной окружности, равным r. Исходя из этого, для R и r можно получить соотношение

$$ 3R^2 - 6Rr - 4r^2 = 0 $$

Ответ: \(\frac{3+\sqrt{21}}{3}\) (в обоих случаях).