В правильной четырехугольной пирамиде центр описанного шара лежит на поверхности вписанного шара. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды.

Возможны два случая:

  1. центр описанного шара совпадает с центром основания,
  2. центр описанного шара находится в точке поверхности вписанного шара, диаметрально противоположной центру основания.
В первом случае плоский угол при вершине равен π/2.

Рассмотрим второй случай. Обозначим через a, b и l соответственно сторону основания, боковое ребро и апофему боковой грани, тогда

$$ b^2 = l^2 + \frac{a^2}{4}, \;\;\;(1) $$

r - радиус вписанного шара равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной l;

$$ r = \frac{a\sqrt{2l - a}}{2\sqrt{2l + a}}\;\;\;(2) $$

R - радиус описанного шара равен радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием a√2 и боковой стороной b;

$$ R=\frac{b^2\sqrt2}{2\sqrt{2b^2-a^2}}\;\;\;(3) $$

При этом центр окружности должен быть внутри треугольника, что означает b > a. Поскольку расстояние от центра описанного шара до основавня есть 2r, то

$$ R^2 - \frac{a^2}{2} = 4r^2 $$

Заменяя в этом равенстве R и r по формулам (2) и (3), получим после упрощения

$$ \frac{(b^2-a^2)^2}{2(2b^2-a^2)} = \frac{a^2(2l-a)}{2l+a} $$

Выражая b через a и l по формуле (1), получим

$$ (l^2 - \frac{3a^2}{4})^2 = a^2(2l-a)^2 $$

Учитывая, что b > a или l > \(a\frac{\sqrt3}{2}\), получим, что a и l удовлетворяют уравнению

$$ l^2 - \frac{3a^2}{4} = a(2l - a), $$

откуда

$$ \frac{l}{a} = 1+\frac{\sqrt3}{2}\;\;\;(\text{для второго корня}\;\;\frac{l}{a}\lt\frac{\sqrt3}{2}) $$

Ответ: π/2 или π/6





Похожие примеры: