В правильной четырехугольной пирамиде центр описанного шара лежит на поверхности вписанного шара. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды.
Возможны два случая:
- центр описанного шара совпадает с центром основания,
- центр описанного шара находится в точке поверхности вписанного шара, диаметрально противоположной центру основания.
Рассмотрим второй случай. Обозначим через a, b и l соответственно сторону основания, боковое ребро и апофему боковой грани, тогда
$$ b^2 = l^2 + \frac{a^2}{4}, \;\;\;(1) $$r - радиус вписанного шара равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной l;
$$ r = \frac{a\sqrt{2l - a}}{2\sqrt{2l + a}}\;\;\;(2) $$R - радиус описанного шара равен радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием a√2 и боковой стороной b;
При этом центр окружности должен быть внутри треугольника, что означает b > a. Поскольку расстояние от центра описанного шара до основавня есть 2r, то
$$ R^2 - \frac{a^2}{2} = 4r^2 $$Заменяя в этом равенстве R и r по формулам (2) и (3), получим после упрощения
$$ \frac{(b^2-a^2)^2}{2(2b^2-a^2)} = \frac{a^2(2l-a)}{2l+a} $$Выражая b через a и l по формуле (1), получим
$$ (l^2 - \frac{3a^2}{4})^2 = a^2(2l-a)^2 $$Учитывая, что b > a или l > \(a\frac{\sqrt3}{2}\), получим, что a и l удовлетворяют уравнению
$$ l^2 - \frac{3a^2}{4} = a(2l - a), $$откуда
$$ \frac{l}{a} = 1+\frac{\sqrt3}{2}\;\;\;(\text{для второго корня}\;\;\frac{l}{a}\lt\frac{\sqrt3}{2}) $$Ответ: π/2 или π/6