Дан куб ABCDA1B1C1D1, М - центр грани АВВ1А1, N - точка на ребре B1C1, L - середина А1В1, К - основание перпендикуляра, опущенного из N на ВС1. В каком отношении точка N делит ребро В1С1, если ∠LMK = ∠MKN?

Пусть ребро куба равно a, |NC1| = х. Найдем:

$$ |LM|=\frac{a}{2},\;\;\;|NK|=\frac{x}{\sqrt2},\\ |LN|^2=|LB_1|^2+|B_1N|^2=\frac{a^2}{4}+(a-x)^2=\frac{5}{4}a^2-2ax+x^2, \\ |LK|^2=|LB_1|^2+|B_1K|^2=\\=|LB_1|^2+|B_1N|^2+|NK|^2+2|B_1N|\cdot|NK|\frac{\sqrt2}{2}=\\=\frac{a^2}{4}+(a-x)^2+\frac{x^2}{2}+(a-x)x=\frac{5}{4}a^2-ax+\frac{x^2}{2}, \\ |MN|^2=|MB_1|^2+|B_1N|^2=\frac{3a^2}{2}-2ax+x^2, \\ |MK|^2=|MB|^2+|BK|^2-|MB|\cdot|BK|=\frac{3a^2}{2}-\frac{3}{2}ax+\frac{x^2}{2} $$

Если ∠LMK = ∠MKN = φ, то по теореме косинусов для треугольников LMK и MKN получим:

$$ |LK|^2=|LM|^2+|MK|^2 -2|LM|\cdot |MK|cos\phi, \\ |MN|^2=|MK|^2+|KN|^2 -2|MK|\cdot |KN|cos\phi $$

Исключая из этих уравнений cos φ, получим

$$ |LK|^2\cdot |KN| - |MN|^2\cdot |LM| = (|LM|-|KN|)(|LM|\cdot |KN| - |MK|^2) $$

Выражая входящие в это равенство отрезки по найденным выше формулам, получим

$$ (\frac{5a^2}{4}-ax +\frac{x^2}{2})\frac{x}{\sqrt2} - (\frac{3a^2}{2}-2ax + x^2)\frac{a}{2} =\\= (\frac{a}{2} - \frac{x}{\sqrt2})(\frac{ax}{2\sqrt2} -\frac{3a^2}{2} + \frac{3ax}{2} -\frac{x^2}{2}) $$

Из этого уравнения найдем \(х=a(1-\frac{\sqrt2}{2})\)

Ответ: \(\frac{|B_1N|}{|NC_1|} = \sqrt2 +1\)





Похожие примеры: