а) В данном случае a = (2; 2; -1), n = (4; 1; 1). По формуле (1) вычисляем синус искомого угла:

$$ sin\phi=\frac{|2\cdot 4+2\cdot 1-1\cdot 1|}{\sqrt{4+4+1}\sqrt{16+1+1}}=\frac{9}{3\sqrt{18}}=\frac{1}{\sqrt2} $$

Угол между прямой и плоскостью равен 45°.

---

б) Так как а = (-3; -1; -4) и n = (1; 2; -1), то

$$ sin\phi=\frac{|-3-2+4|}{\sqrt{9+1+16}\sqrt{1+4+1}}=\\=\frac{1}{\sqrt{26}\sqrt6}=\frac{1}{2\sqrt{39}}\approx0,08 $$

По таблице синусов находим, что φ ≈ 5°.

---

в) За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n₁ = (3; -2; 1) и n₂ = (4; -3; 4) плоскостей, задающих прямую. Найдем его координаты:

$$ a=[n_1; n_2]=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & -3 & 4 \end{vmatrix}=-5i-8j-k $$

Координаты нормального вектора данной плоскости находим из ее уравнения n = (2; -1; -2). По формуле (1) вычисляем синус искомого угла:

$$ sin\phi=\frac{|-10+8+2|}{\sqrt{25+64+1}\sqrt{4+1+4}} $$

Угол между прямой и плоскостью равен нулю.