Рассматривается функция
f (х) = A cos х + В sin х,
где A и В - некоторые постоянные.
Доказать, что если f (х)обращается в нуль при двух значениях аргумента x1 и x2 таких, что
x1 - x2 =/= kπ
(k - целое число), то функция f (х) тождественно равна нулю
Утверждение будет доказано, если мы установим, что A = В = 0.
Пусть A2 + В2 =/= 0, т. е. по крайней мере одно из чисел А, В отлично от нуля. Тогда
$$ f(x)=(\frac{A}{A^2+B^2}cos x + \frac{B}{A^2+B^2}sin x)\sqrt{A^2+B^2} =\\= \sqrt{A^2+B^2}sin(x+\phi) $$где \( sin\phi=\frac{A}{A^2+B^2}, \;\; cos\phi=\frac{B}{A^2+B^2} \)
Пусть теперь x1 и x2-два указанных в задаче значения аргумента; тогда
f (x1) = f (x2) = 0, и так как √A2 + B2 =/= 0, то sin ( x1 + φ )= sin ( x2 + φ ) = 0.
Отсюда x1 + φ = mπ, x2 + φ = nπ и, следовательно, x1-x2 = kπ при некотором целом k. Это равенство приводит к противоречию, так как по условию x1-x2 =/= kπ.
Следовательно, A2 + В2 = 0, откуда А = В = 0.
Похожие примеры: