Обозначим искомую сумму через А и прибавим к ней вторую сумму

$$ B=\frac{sin\frac{\pi}{4}}{2}+\frac{sin\frac{2\pi}{4}}{2^2}+...+\frac{\sin\frac{\pi n}{4}}{2^n} $$

умножив ее предварительно на i. Получим

$$ A+Bi=\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2^2}(cos\frac{2\pi}{4}+i sin\frac{2\pi}{4})+...\\...+\frac{1}{2^n}(cos n\frac{\pi}{4}+i sin n\frac{\pi}{4}) $$

Применив формулу Муавра, находим

$$ A+Bi=\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2^n}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})^n =\\=\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})\frac{1-\frac{1}{2^n}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})^n}{1-\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})} $$

В последнем выражении использована формула для суммы членов геометрической прогрессии. Искомая сумма А может быть найдена как вещественная часть полученного выражения. Заметив, что

cos ^π/₄ = sin ^π/₄ - ¹/_√2

последовательно находим

$$ A+Bi=\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})\frac{1-\frac{1}{2^n}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})^n}{1-\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4})} =\\= \frac{1}{2\sqrt2}(1+i)\frac{1-\frac{1}{2^n}(cos n\frac{\pi}{4})+i sin n\frac{\pi}{4})}{1-\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{i}{2\sqrt2}} =\\= \frac{(1+i)[(2^n-cos n\frac{\pi}{4})-i sin n\frac{\pi}{4}]}{2^n[(2\sqrt2 - 1) - i]} =\\= \frac{(1+i)(2\sqrt2 - 1 +i)}{2^n[(2\sqrt2-1)^2 +1]}[(2^n-cos n\frac{\pi}{4})-i sin n\frac{\pi}{4}] =\\=\frac{[(2\sqrt2-2)+2i\sqrt2][(2^n-cos n\frac{\pi}{4})-i sin n\frac{\pi}{4}]}{2^n(10-4\sqrt2)} $$

Выделяя вещественную часть, получаем

$$ A=\frac{(\sqrt2-1)(2^n-cos n\frac{\pi}{4})+\sqrt2 sin n\frac{\pi}{4}}{2^n(5-2\sqrt2)} $$