Решить уравнение 5 sin x - cos х = 5
Это уравнение в принципе можно решать тем же способом, что и предыдущее уравнение:
\(\sqrt{26}(\frac{5}{\sqrt26}sin x - \frac{1}{\sqrt{26}}cos x) = 5\)
\(\sqrt{26} sin(x - φ) = 5\)
где \( cos φ = \frac{5}{\sqrt{26}}; \;\; sin φ = \frac{1}{\sqrt{26}} \)
или
φ = arctg 1/5 .
Поэтому
sin (x - arctg 1/5) = \(\frac{5}{\sqrt26}\),
откуда
x - arctg 1/5 = (- 1)n arcsin\(\frac{5}{\sqrt{26}}\) + nπ
x = arctg 1/5 + (- 1)n arcsin\(\frac{5}{\sqrt{26}}\) + nπ
Но в данном случае лучше использовать другой метод решения, который приводит к более простому ответу. Введем в рассмотрение новую переменную у = tg x/2:
$$ sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^3\frac{x}{2}}=\frac{2y}{1+y^2}, \\ cosx=\frac{1-tg^3\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{1-y^3}{1+y^2} $$Тогда данное уравнение можно переписать в виде:
$$ \frac{10y}{1+y^2}-\frac{1-y^2}{1+y^2}=\\=10y-1+y^2=5(1+y^2) $$откуда
4y2 - 10y + 6 = 0;
y1 = 1; y2 = 3/2
Вспоминая, что у = tg x/2, получаем:
(x/2)1 = π/4 + nπ ; (x/2)2 = arctg 3/2 + kπ
Следовательно, данное уравнение имеет две группы корней:
х = π/2 + 2nπ и x = 2arctg 3/2 + 2kπ,
где n и k - любые целые числа.
Желающие могут проверить, что ответы, полученные двумя различными способами, выражают один и тот же результат.
Вводить новую переменную у = tg x/2 можно лишь в том случае, если заранее известно, что x/2 =/= π/2 + 2nπ, или х =/= π + 2nπ. Таким образом, описанный способ решения уравнения a sin х + b cos х = с может привести к потере некоторых корней, а именно корней вида х =/= π + 2nπ. Такие корни требуют специальной проверки.