Найти уравнения проекции прямой $$ \frac{x-1}{9}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z}{-7} $$ на плоскость

2x - у - 3z + 6 = 0.

Проекцией прямой на плоскость является прямая пересечения двух плоскостей: данной плоскости и плоскости, которая перпендикулярна данной и проходит через данную прямую. Поэтому для решения задачи достаточно найти уравнение плоскости, содержащей данную прямую и перпендикулярной данной плоскости., Пусть

Ax + By + Cz + D = 0

- уравнение искомой плоскости. Тогда из условия перпендикулярности плоскостей получаем уравнение

2А - В - 3С = 0,

а из условия (4) принадлежности прямой плоскости уравнения

9A - 4В - 7С = 0 и A - В + D = 0.

Из полученных уравнений следует:

А = -5С, В = -13С, D = -8С.

Итак, уравнением плоскости, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную прямую, будет уравнение

-5Сх -13Cy + Cz - 8С = 0, С =/= 0,

или 5х + 13у - z + 8 = 0.

Искомая проекция является пересечением найденной плоскости и данной. Следовательно, ее уравнения:

$$ \begin{cases}5x+13y-z+8=0\\2x-y-3z+6=0\end{cases} $$