а) Направляющий вектор прямой имеет координаты a = (3; 3; -5), нормальный вектор плоскости - n = (7; -2; 3). Векторы, очевидно, не коллинеарны; следовательно, прямая не перпендикулярна плоскости. Проверим условие (2) параллельности прямой и плоскости:

а₁А + а₂В + а₃С = 3 • 7 - 3 • 2 - 5 • 3 = 0.

Условие выполняется. Данные прямая и плоскость параллельны.

б) В данном случае а = (2; 3; 4) и n = (1; -1; 1). Векторы не коллинеарны, поэтому условие (3) не выполняется. Проверим условие (2) параллельности прямой и плоскости:

а₁А + а₂В + а₃С = 2 • 1 - 3 • 1 + 4 • 1 =/= 0.

Условие не выполняется. Прямая и плоскость не параллельны и, следовательно, пересекаются. Для определения координат точки пересечения нужно решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

$$ \begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4}\\x-y+z-3=0\end{cases} $$

Такую систему удобно решать, предварительно записав уравнения прямой в параметрическом виде:

$$ \begin{cases}x=2t\\y=1+3t\\z=1+4t\end{cases} $$

Подставляя значения х, у и z в уравнение плоскости, получим

2t - (1 + 3t) + 1 + 4t - 3 = 0,

откуда t = 1 и, значит, х = 2, у = 4, z = 5. Прямая и плоскость пересекаются в точке (2; 4; 5).

в) За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение векторов
n₁=(6; 3;-2) и n₂ = (6; 1; 2), т. е. нормальных векторов, задающих данную прямую. Найдем его координаты:

$$ a=[n_1; n_2]=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 3 & -2 \\ 6 & 1 & 2 \end{vmatrix}=8i-24j-12k $$

Нормальный вектор n данной плоскости имеет координаты (2; -6; -3). Условие (3) перпендикулярности прямой и плоскости выполнено, так как

⁸/₂ = ^-24/_-6 = ^-12/_-3

Данные прямая и плоскость перпендикулярны. Для определения точки пересечения прямой и плоскости запишем уравнения прямой в параметрическом виде. Направляющий вектор прямой уже найден, это вектор а = (8; -24; -12) или ему коллинеарный вектор (2; -6; -3). Осталось найти какую-нибудь точку прямой. Положим х = 0, тогда

$$ \begin{cases}3y-2z=21\\y+2z=31\end{cases} $$

откуда у = 13, z = 9. Точка (0; 13; 9) принадлежит прямой. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

$$ \begin{cases}x=2t\\y=13-6t\\z=9-3t\end{cases} $$

Подставляя значения х, у и z в уравнение плоскости, получим

4t - 6(13 - 6t) - 3 (9 - 3t) - 91 = 0

или 49t = 196, t = 4. Точка прямой, получающаяся при значении параметра t = 4, принадлежит плоскости. Прямая и плоскость пересекаются в точке (8; -11; -3).