На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности, меньшей, чем данные, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

Пусть О - центр сферы, О1, O2, O3 - центры данных окружностей, O4 - центр искомой окружности.

Очевидно, ΔО1O2O3 - правильный. Найдем его стороны (М - точка касания окружностей с центрами О1 и O2).

$$ |O_1M| = |O_2M| = 1, \;\; |OM| = 2 $$

Значит, ∠МОО1 = ∠МОО2 = 30°, |OО1| = |OО2| = √3, |О1, O2| = √3.

OO4 перпендикулярна плоскости О1O2O3 и проходит через центр ΔО1O2O3, расстояния от О1, O2 и O3 до OO4 равны 1.

Пусть К - точка касания окружностей О1 и O4, L - основание перпендикуляра, опущенного из О1 на OO4. KN⊥LО1, |О1L| = |О1K| = 1, |OО1| = √3

Из подобия прямоугольных треугольников О1KN и OО1L найдем \(|О_1N| = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Таким образом, искомый радиус \(|О_4K| = |LN| = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\).





Похожие примеры: