Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трех других. Пятый шар касается каждого из данных шаров внешним образом, шестой — внутренним образом. Найти отношение объема шестого шара V₆ к объему пятого V₅.

Центры четырех первых шаров лежат в вершинах правильного тетраэдра, так как расстояния между центрами любых двух касающихся шаров равны 2R. Нетрудно показать, что центры пятого и шестого шаров совпадают с центром тяжести тетраэдра.

Пусть r - радиус пятого (большего) шара, а ρ - радиус шестого шара. Очевидно,

r = ρ + 2R. (1)

Пользуясь тем, что расстояние от центра тяжести до вершины рассматриваемого тетраэдра равно ^√6/₂ Rполучаем:

ρ + R = ^√6/₂ R. (2)

Отсюда ρ = R( ^√6/₂ - 1 ) , а из формулы (1) r =R( ^√6/₂ +1 ) .

Таким образом, искомое отношение объемов равно