В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k.

Пусть r - радиус основания каждого из двух вписанных конусов. Их общая часть состоит из двух равных усеченных конусов. Обозначим через r₁ и r₂ соответственно радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса и через Н - его высоту. Искомое отношение объемов равно

Из подобия треугольников AQZ, AOS, АРС имеем:

Так как, кроме того, H = h - R и

r = √R²- H²= √2Rh² - h²,

то два предыдущих равенства позволяют выразить r₁ и r₂ через R и h:

Так как по условию задачи ^h/_R= k, то