Тема: Многогранник, шар
Теория
Задачи
В сферу S радиуса R вписаны восемь сфер меньшего радиуса, каждая из которых касается двух соседних, а все вместе касаются сферы S по окружности большого круга. Затем в пространство между сферами вписана еще одна сфера S1, которая касается всех восьми сфер меньшего радиуса и сферы S. Найти радиус ρ этой последней сферы.
Смотреть решение →В конус вписан шар, причем отношение их объемов равно k. Найти отношение объемов шаровых сегментов, отсекаемых от шара плоскостью, проходящей через линию касания шара с конусом. Смотреть решение →Определить радиусы двух шаров, которые, пересекаясь, образуют двояковыпуклую линзу, если известны толщина линзы 2а, полная ее поверхность S и диаметр 2R. Смотреть решение →Найти отношение объема шара к объему описанного около него прямого конуса, если полная поверхность конуса в n раз больше поверхности шара. Смотреть решение →В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр, и все его грани продолжены до пересечения со сферой. Линии пересечения граней тетраэдра со сферой вырезают из ее поверхности четыре сферических треугольника и несколько сферических двуугольников. Вычислить площадь каждого из этих двуугольников и треугольников Смотреть решение →Найти двугранный угол φ между основанием и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды, зная, что радиус описанного около пирамиды шара в 3 раза больше радиуса вписанного в нее шара. Смотреть решение →В треугольной пирамиде SABC ребра SA, SC и SB попарно перпендикулярны, АВ = ВС = a, BS = b. Найти радиус вписанного в пирамиду шара.
Смотреть решение →Из точки сферы радиуса R проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определить длину этих хорд. Смотреть решение →Взяты две противоположные вершины куба и через середины шести ребер, не проходящих через эти вершины, проведена секущая плоскость, которая делит куб на две части. В каждую из этих частей помещен шар, касающийся трех граней куба и секущей плоскости. Во сколько раз объем каждого из этих шаров будет меньше объема куба? Смотреть решение →Даны две концентрические сферы радиусов r и R (R > r ). При каком соотношении между R и r можно внутри большей сферы построить правильный тетраэдр так, чтобы три вершины его основания лежали на большей сфере, а три боковые грани касались меньшей сферы? Смотреть решение →