Найти двугранный угол φ между основанием и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды, зная, что радиус описанного около пирамиды шара в 3 раза больше радиуса вписанного в нее шара.

Обозначим через r радиус вписанного шара, а через R радиус описанного шара.

Рассмотрим сначала треугольник SFE, одна из сторон которого SF является высотой пирамиды, а другая SE - высотой боковой грани (рис. а). Пусть О - центр вписанного шара. Из треугольников SFE и OFE (рис. б) имеем:

FE = r ctg ^φ/₂,

SF = r ctg ^φ/₂tg φ.

Очевидно, далее, что

DF = EF√2

Обращаясь к рисунку в, где изображено сечение, проведенное через ось пирамиды и ее боковое ребро, мы легко найдем:

DO₁² = O₁F² + DF²

или

R² = (SF - R)² + DF².

Отсюда

Так как R = 3r, то, подставляя сюда найденные ранее выражения для SF и DF, получаем уравнение относительно φ:

или после упрощения

6 tg ^φ/₂tg φ = 2 + tg²φ.

Положим, далее, tg ^φ/₂ = z. Заметив, что , мы приходим к уравнению

7z⁴-6z² + 1 = 0.

Отсюда

Так как z > 0, то возможны лишь два ответа: