Две правильные n-угольные пирамиды с одинаковыми основаниями сложены этими основаниями. Найти радиус шара, вписанного внутрь получившегося многогранника, зная, что сторона общего основания пирамид равна а, а высоты пирамид равны h и H.

Проведем плоскость через вершины S₁ и S₂ пирамид и середину А одной из сторон основания.

Радиус полукруга, вписанного в треугольник AS₁S₂ так, что его диаметр лежит на S₁S₂ очевидно, равен радиусу вписанного шара. Пусть О - центр полукруга. Обозначим через b высоту в треугольнике AS₁S₂, опущенную на сторону S₁S₂. Так как b есть апофема правильного n-угольника, то

b = ^a/₂ ctg ^π/_n

Радиус шара R найдем, подсчитав двумя способами площадь S треугольника AS₁S₂. С одной стороны,

S = ^b/₂(H + h),

с другой стороны,

В итоге получаем окончательную формулу