В правильную n-угольную пирамиду со стороной основания а и боковым ребром b вписан шар. Найти его радиус.

Объем пирамиды равен сумме объемов пирамид, которые получатся, если соединить центр вписанного шара О со всеми вершинами пирамиды. Высота каждой такой пирамиды равна радиусу r шара, вписанного в данную пирамиду. Если S - площадь основания пирамиды, S₁ - боковая поверхность, то объем пирамиды будет

V= ¹/₃(S₁ + S) r. (1)

Так как, с другой стороны,

V= ¹/₃ hS

то для rполучаем формулу

Подставляя эти выражения в (2), находим: