Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ψ. Найти объем пирамиды.

Используя равенство двугранных углов, как и в задаче 232 нетрудно показать, что перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, проектируется в центр симметрии ромба. Легко также видеть, что центр вписанного шара лежит на указанном перпендикуляре.

Пусть а - сторона ромба, 2h - высота ромба, H - высота пирамиды.

Тогда площадь основания S =a² sin α или, так как

Но h= R ctg ^ψ/₂ (см. рис., где изображено сечение, проходящее через высоту пирамиды и высоту ромба). Ясно также, что