В правильной n-угольной пирамиде площадь основания равна Q, а высота составляет с каждой из боковых граней угол φ. Определить боковую и полную поверхность пирамиды.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, а высота проходит через некоторую точку О основания пирамиды, то

1. высоты всех граней равны;
2. в основание пирамиды можно вписать окружность, центром последней будет точка О;
3. S_ocн.= S_бок. cos α

Доказательство. 1) Проведем (рис.) высоту FM боковой грани BFC и соединим М с точкой О.

Отрезок ОМ есть проекция FM на плоскость ABCDE. Следовательно, он перпендикулярен к ВС («теорема о трех перпендикулярах»). Значит, угол OMF - линейный для двугранного угла α. Из треугольника OMF имеем

FM = ^OF/_{sin α} ; ОМ = OF• ctg α.

Если из вершины F провести высоты FL, FN и высоты других боковых граней, то таким же образом найдем, что все они равны ^OF/_{sin α} .

2) Отрезки OL, ОМ и т. д. будут перпендикулярны соответственно к сторонам АВ, ВС и т. д. и равны OF• ctg α. Поэтому если провести из центра О окружность радиуса ОМ, то она будет вписана в основание ABCDE.

3) Точка О - основание высоты пирамиды, по доказанному есть центр вписанной окружности.

4) S_OBC = ¹/₂ВС • ОМ = ¹/₂ ВС (FM • cos α) = ( ¹/₂ ВС • FM ) cos α = S_FBC cos α

Точно так же найдем, что S_OAB = S_FAB cos α и т. д.. Складывая эти равенства, получим S_ocн. = S_бок. cos α .

----------------------------------------------

Высота FO всякой пирамиды (рис.) проектируется на боковую грань BFC отрезком, лежащим на прямой FM.

Поэтому ∠ OFM = φ. Значит, α = 90° - φ, т. е. все грани наклонены к основанию под одним и тем же углом. По доказанному

S_бок. = ^Q/_{cos α} = ^Q/_{sin φ}