Из точки сферы радиуса R проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определить длину этих хорд.

Пусть О - центр сферы, а AS, BS и CS - данные хорды. Очевидно, что треугольник ABC равносторонний.

Легко видеть также, что перпендикуляр SO₁ на плоскость ABC при продолжении проходит через центр сферы О, так как точка O₁ является центром круга, описанного около \(\Delta\)ABC.

Обозначим после этих замечаний через d искомую длину хорд. Из треугольника SAB находим:

АВ = 2d sin ^α/₂

и, следовательно,

Вычисляя двумя способами площадь равнобедренного треугольника SOA, получаем: