Найти геометрическое место точек, из которых можно провести к данному шару радиуса R три касательные, образующие трехгранный угол с тремя прямыми плоскими углами.

Докажем, что искомое геометрическое место есть сфера радиуса R6/2 и что центр этой сферы совпадает с центром данной сферы.

Пусть М - произвольная точка искомого геометрического места; отрезки MA, MB и МС (рис.), будучи отрезками касательных, проведенных к сфере из одной общей точки, равны между собой. Поэтому прямоугольные треугольники АМС, СМВ и АМВ равны. Следовательно, \(\Delta\)ABC равносторонний. Очевидно, что отрезок ОМ пересечет его в центре тяжести О1.

Пусть AM= a, тогда АС = a2 и АО1 = a6/3 . Подставляя эти значения в равенствоOM•AO1 = OA•AM (мы пользуемся здесь тем, что \(\Delta\)ОAM прямоугольный, и записываем двумя способами его площадь), получим:

ОM • a 6/3= Ra

Отсюда

OM = 6/2 R

Таким образом, точка М лежит на указанной выше сфере. Вращая данный шар вместе с касательными AM, СМ и ВМ вокруг центра О, мы убедимся в том, что любая точка сферы принадлежит рассматриваемому геометрическому месту.





Похожие примеры: