Тема: Окружность, круг
Теория
Задачи
  • Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD пронести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов А и С с биссектрисами углов В и D лежат на окружности.  Смотреть решение →
  • К окружности проведены две касательные. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки окружности на хорду, соединяющую точки касания, есть среднее пропорциональное между длинами перпендикуляров, опущенных из той же точки на касательные.  Смотреть решение →
  • Три равных окружности пересекаются в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Доказать, что получаемые три прямые пересекаются в одной точке. Смотреть решение →
  • Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Отрезок AB является диаметром большей окружности. Хорда BK большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Доказать, что АС является биссектрисой треугольника ABK.  Смотреть решение →
  • В сектор круга радиуса R вписана окружность радиуса r . Хорда сектора равна 2а . Доказать, что

    1/r = 1/R + 1/a

     Смотреть решение →
  • К окружности проведены две касательные, которые пересекают в точках А и В прямую, проходящую через центр окружности, и образуют с этой прямой равные углы. Доказать, что любая (подвижная) касательная отсекает на данных (неподвижных) касательных отрезки АС и BD, произведение которых постоянно.  Смотреть решение →
  • Доказать, что сумма квадратов длин двух взаимно перпендикулярных пересекающихся хорд окружности больше квадрата ее диаметра, а сумма квадратов отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равна квадрату диаметра.  Смотреть решение →
  • Доказать, что если разделить хорду окружности на три равные части и соединить с центром окружности концы хорды и точки деления, то соответствующий центральный угол разделится на три части, одна из которых больше двух других. Смотреть решение →
  • Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.  Смотреть решение →
  • Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Доказать, что их линия центров параллельна данной прямой. Смотреть решение →
  • << < 1 2 3 4 > >>