Тема: Многогранник, шар
Теория
Задачи
В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1? Смотреть решение →Ребро правильного тетраэдра равно a. Плоскость P проходит через вершину В и середины ребер АС и AD. Шар касается прямых AB, АС, AD и той части плоскости P, которая заключена внутри тетраэдра. Найти радиус шара. Смотреть решение →В правильной призме ABCA1B1C1 длина бокового ребра и высота основания равна a. Через вершину А проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой АВ1, вторая перпендикулярно прямой АС1. Через вершину A1 также проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой А1В, вторая перпендикулярно прямой A1C. Найти объем многогранника, ограниченного этими четырьмя плоскостями и плоскостью BB1C1C. Смотреть решение →Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна а. Точки Р, К, L - середины ребер AA1, A1D1, В1С1 соответственно, точка Q - центр грани CC1D1D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. Смотреть решение →Два равных треугольника \(\Delta KLM\) и \(\Delta KLN\) имеют общую сторону KL, ∠KLM = ∠LKN = π/3, |KL| = a, |LM| = |KN| = 6c. Плоскости KLM и KLN взаимно перпендикулярны. Шар касается отрезков LM и KN в их серединах. Найти радиус шара. Смотреть решение →В шаре радиуса R проведен диаметр АВ. Две прямые касаются шара в точках А и В и образуют между собой угол α (α < 90°). На этих прямых взяты точки С и D так, что CD также касается шара и угол между АВ и CD равен φ (φ < 90°). Найти объем тетраэдра ABCD. Смотреть решение →В тетраэдре ABCD дано ∠АВС = ∠BAD = 90°, |А В| = a, |DC| = b, угол между ребрами AD и ВС равен α. Найти радиус описанного шара. Смотреть решение →Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, причем одно из них равно а и равно сумме двух других. Найти радиус шара, касающегося основания пирамиды и продолжений ее боковых граней. Смотреть решение →Найти другранный угол между основанием и боковой гранью правильной треугольной усеченной пирамиды, если известно, что в нее можно вписать шар и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее ребер. Смотреть решение →Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле \(S = 2\pi Rh\), где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями. Смотреть решение →