Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле \(S = 2\pi Rh\), где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями.
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть отрезок AB вращается вокруг прямой l (l не пересекает отрезок AB).
Перпендикуляр, восставленный к AB в точке C — середине AB, пересекает прямую l в точке O, MN — проекция AB на прямую l. Тогда площадь поверхности, полученной при вращении AB вокруг l, равна \(2\pi |CO| \cdot |MN|\).
Поверхность, полученная при вращении AB, представляет собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований BN и AM, высотой |MN| и образующей AB.
Проведем через A прямую, параллельную l, и обозначим через L точку ее пересечения с перпендикуляром BN, опущенным из В на l, |MN| = |AL|.
Обозначим через K проекцию C на l.
Заметим, что треугольники ABL и COK подобны. Учитывая это, получим, что боковая поверхность усеченного конуса равна
Теперь с помощью предельного перехода нетрудно получить утверждение нашей задачи. (Если рассматриваемый шаровой пояс получается от вращения некоторой дуги \(\breve{AB}\) окружности вокруг ее диаметра, то площадь поверхности этого пояса равна пределу площади поверхности, получающейся при вращении вокруг этого же диаметра ломаной\(AL_1L_2...L_nB\), все вершины которой лежат на \(\breve{AB}\), при условии, что длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю.)